§12 .Перетин поверхні другого пор. З прямою. Асимптотичні напрямкию.

Асимптотичний конус. Конус асимптотично напрямлений

Припустимо що відносно ПДСК поверхня 2-го пор. задана загальним рівнянням

Розглянемоперетин з прямою

(2)

-напрямний

підставимо в рівняння поверхні вираз (2) та згрупуємо подібні

(3)

Вирішивши (3) ми отримаємо координати точки перетину підставимо знайдені значення t в (2)

При цьому можливі наступні випадки

1) (7)(напрямний вектор називається асимптотичним напрямком відносно поверхні (1) якщо він задовольняє рівняння (7)

Очевидно в цьму випадку пряма або перетинає поверхню в одній точці

a)

б) -не перетинаэ

в) -є нескінченне число рішень, а значить пряма належить повершні

Рівняння (8)є однорідним, то воно визначаєв просторі конічну повершню утворену прямими, що проходять через початок координат і координати точки M що лежить на твірній конуса є координатами вектора

Відповілно твірні конуса (8)- це прямі що мають асимптотичний напрямок поверхні справедливе і обернене

Конусом асимптотичних напрямків – наз ГМТ прямих, що проходять через точку M і мають відносно пов. Асимптотичний напрямок Рівнянн цього конуса має вигляд

Конус асимптотитчно напрямлений отримується із асимптотичного конуса паралельним переносом

2)

- два кореня які співпадають

в даному випадку маємо дві точки з дійсними чи умовними координатами

точка M назив. Особливою точкою поверхні якщо

Якщо хоча б одна з часткових похідних в точці M не дор. 0 то така точка наз. особливою.

§15. Визначення кононічного рівняння поверхні по ортогональним інваріантам

Розглянемо пов. 2-го роду задану відносно ОДСК

Рівнянням (1) Введемо наступні позначення

Можемо переконатися що даний вираз є ортогональним інваріантом

Для випадку поверхні яка має пряму центрів інваріантом буде

Якщо поверхня має площину центрів

То для неї орт. Інваріантом буде

§4.Поверхности, которые определяются общим уравнением поверхности второго порядка.

Т - ма: Общее уравнение поверхности второго порядка

Заданной относительно ОДСК выражает одну из следующих 17 поверхностей:

група	Каноническое уравнение		Название
I	1		Элипсоид
	2		Мнимый элипсоид
	3		Однополосный гиперболоид
	4		Двуполосный гиперболоид
	5		Конус
	6		Мнимый конус
II	7		Эллиптический параболоид
	8		Гиперболический параболоид
III	9		Элептический цилиндр
	10		Мнимый Эллиптический цилиндр
	11		2 мнимых пересек. плоскости
	12		Гиперболический цилиндр
	13		Пересек. плоскости
IV	14		Параболический цилиндр
V	15		2 паралельные плоскости
	16		2 мнимые паралельные плоскости
	17		2 совпадающие плоскости

Док: уравнение (1) может быть сведено к одному из следующих 5 простейших:

I.

1) Пусть в (I) одного знака, а D им имеет знак противоположнынй.

То получим уравнение эллипсоида.

2) и D имеют один знак Мнимый эллипсоид.

3) один знак, а потивоположный.

Однополосный гиперболоид.

4) , одного, а противоположного.

Двопол. Гиперболоид.

5)D = 0 одного знака,а потивоположного.

Уравн. Конуса.

6) D = 0 одного знака Мнимый конус.

(II)

7) одного знака

p и q будут одного знака (выбираем положительное направление оси OZ можна добится того, чтобы знак был противлположным знаку тогда p и q > 0) мы получим каноническое уравнение эллиптического параболоида.

Аналогично моно рассмотреть простейшее уравнение для III, IV, V групп.