§3. Общее уравнение пов. II-го порядка. Привидение общего ур. Пов. II-го порядка к простейшим уравнениям пов. II-го порядка.

Поверхностью II-го порядка наз, ГМТ, которое в некоторой дек. сист. координат задается уравнением вида:

В курсе общей алгебры была доказана

Теорема 1:

Всякая квадратичная форма

может быть преведена к каноническому виду так, чтобы преобразованнная форма не содерж. членов с произведениями переменных, взятых попарно. При чем коеф. приобраз. формы являються корнями характеристического уравнения

Теорема 2: Общее уравнение поверхности второго порядка вида (1) задано относительно ОДСК при помощи преобразования СК в ПДСК всегда можна преобразовать к одному из 5 следующих уравнений:

Доказательство перейдем от ОДСК к ПДСК. Поскольку при этом порядок уравнений не меняется, то уравнение 1 перейдёт в уравнение такого же вида. Поэтому уравнение (1) уж задано в ПДСК. По теореме 1 можно от ПДСК перейти к новой ПДСК OX`Y`Z` так, что в новой сист. координат уравнение 1 преобразуется к виду

новые оси координат у единичных векторов

1) Если λ₁, λ₂, λ₃,не равны, и не равны 0, то получаем единственную тройку осей

2) λ₁ равно λ₂, не равно λ₃, - находим OZ`, а оси OX` OY` располагаем перпендикулярно к ней, чтобы они образ правую тройку

3) λ₁, λ₂, λ₃, равны => квадрат форма имеет вид λ(x²+y²+z²)

1.Тогда

Произведем перенос сист. координат OX`Y`Z` так, чтобы новым началом стала точка

В итоге получим I

2. Пусть λ₁, λ₂,не равно 0 λ₃, равно 0 а₃₄ не равно 0.

Тогда получим

Перенесём начало координат так, чтобы новым центром стала точка:

в итоге получим II

3. Пусть λ₁, λ₂,не равно 0 λ₃, равно 0 а₃₄ не равно 0.

Тогда получим

Перенесём начало координат так, чтобы новым центром стала точка:

в итоге получим III

4. λ₁, λ2=0 а₂₄ либо а₃₄ не равно, тогда если а₂₄ не равно 0, а₃₄ равно 0:

Если а₂₄ равно 0, а₃₄ не равно 0:

т.е. уравнение IV типа

5. λ₂, λ₃, равно 0 а₂₄ = а₃₄ равно 0.

перенеся оси координат получим уравнение V.