§19 Главное направленние. Главный диаметр.

В §18 было показано, что у линии 2го пор. имеющей неасимпт. напр. имеется бесконечное число паралел. сопряженных между собой диаметров, при этом каждому диаметру соотв. именно ему сопряженный. если эти пары будут перпендикулярны меджу собой, то в этом случае они наз. главным диаметром

неасимпт. напр. диний 2го пор. наз. главным, если оно перпендикулярно диаметру, сопряженному с хордами, имеющими это напр., этот диаметр наз. главным и является осью симметрии линии

всякая линия 2го пор. имеет 2 главных диаметра, за исключением окружности, для которой главные диаметры не определенны.

Теорема1 Коорд {l,m} ненулевого вектора имеющего главное напр. относительно линии 2го пор. заданой общим ур.

1. a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃ относ ПДСК, определенный из сист. (2)

где λ 0 – корни ур: |A-λE|=0(3)

Док пусть {l,m} 0 имеет неасимпт. напр. относит. 91) тогда ур. диаметра сопряженного с хордами линии(1) которая паралел. {l,m} имеет вид l(a₁₁x0+a₁₂y0+a₁₃)+ m(a₁₂x0+a₂₂y0+a₂₃)=0 (5)

la₁₁x+la₁₂y+ma₁₂x+a₂₂ym+ma₂₃+la₁₃ (6) тгда поскольку по условию у нас ПДСК, то этот диаметр будет перпендикулярен хордам паралельным {l,m} 0óвектора { a₁₁l+a₁₂m, a₁₂l+a₂₂m}||{l,m} из колинеарности векторов есть λ: (7) λ 0 иначе получалось бы

что означает что {l,m} имеет асимпт. напр.

(7) ó (8)

Поскольку (8) имеет нетривиальное решение {l,m}, то выполняется условие (3)

ур(3) всегда имеет действительные корни, поскольку его дискрименант больше нуля всегда.

В ур (4) относительно корней λ1,λ2 возможны 3 ситуации

1) λ1 λ2 0, λ1 λ2(эллипс, гипербола, пересек прямые – 1 тип)

Подставим λ=λ1 в сист(7)

(9)

Поскольку в (9) главный определитель

(10)

то сист(9) имеет бесконечное число решений. Выберем любое нетривиальное решение {l₁,m₁} 0, тогда подставим в (9) и получим.

(11)

Следовательно {l₁,m₁} не имеет асимпт. напр., а значит явл. главным напр. линии(1)

Аналогично при λ=λ2 нетривиальное решение {l₂,m₂}- главное напр. линии(1)

{l₁,m₁}и {l₂,m₂} перпендикулярны?

Поскольку для вектора {l₂,m₂} выполняется сист.

(12)

то в сист(11) после преобразований получим.

Преобразуем сист (12) и получим:

Поскольку левые части совпадают, то совпадают и правые, тогда

Поскольку ПДСК, то последнее равенство означает, что {l₁,m₁}и {l₂,m₂} перпендикулярны, причем в этом случае линия 2го пор. имеет только два взаимно перпендикулярных главных диаметра.

2) λ1=λ2 0(окружность)

Тогда в (4) D=0 =>a₁₁=a₂₂, a₁₂=0. В этом случае асимпт. направлений нет и любое напр. есть главным ур. диаметра, сопряженного хордам // вектору {l,m} имеет вид: a₁₁xl+a₁₃l+a₂₂y m +a₂₃ m=0 (13)

Главным диаметром в этом случае считается любая прямая (13) проходящая через центр этой линии.

3) λ1=0 λ2 0(парабола, 2 паралел. прямые, 2 совпад. прямые)

В этом случае в (4) δ=0, тогда для λ=λ2 сост. сист вида (7), решаем ее, находим {l₂,m₂} 0, оно не имеет асимпт. напр. и имеет главн. напр.

Для λ1=0 сист (7) имеет вид:

(14)

Сист. имеет бесконечное число нетривиальных решений, но любое из них обязательно имеет асимпт. напр., однако векторы {l₁,m₁}и {l₂,m₂} всегда будут ортогональны (док. аналогично ранее приведенному)

В сист. (14) вектор {-а₁₂,а₁₁} или {а₂₂,-а₁₂} имеет асимпт. напр. и поскольку главное напр. перпендикулярно этому вектору, то главное напр. определяется одним из векторов: {а₁₁,а₁₂}, {а₁₂,а₂₂}, тогда в случае линии параболического типа имеется только один главный диаметр: a₁₁(a₁₁x+a₁₂y+a₁₃)+a₂₂(a₁₂x+a₂₂y+a₂₃)=0

В случае параболы (15) это ось симметрии, а в случае совпадения или // прямых главный диаметр совпадают с линией центров.