§15. Касательная и нормаль линии 2го порядка, их уравнения.

Пусть относительно ОДСК задана линия 2го порядка общим уравнением вида:

2F(x;y)=a₁₁x²+2a₁₂xy+a₂₂y²+

+2a₁₃x+2a₂₃y+a₃₃=0 (1) и пусть задана некоторая прямая (2).

В §14 исследовалось взаимное расположение линии (1) и прямой (2) и их общие точки находились из уравнения: Lt²+2Mt+N=0 (3), где L=a₁₁l²+2a₁₂lm+a₂₂m²; M=l(a₁₁x₀+a₁₂y₀+a₁₃)+m(a₁₂x₀+a₂₂y₀₊a₂₃)=lF'_x(x₀;y₀)+mF'_y(x₀;y₀); N=2F(x₀;y₀) (4) . Прямая асимптотического направления (L≠0), для которой уравнение (3) имеет 1 (двойной, парный) корень, называется касательной линией (1), а соответствующая этому точка называется точкой касания. Пусть M₀(x₀;y₀) в (1) – следовательно в уравнении (3) N=0 и (3): Lt²+2Mt=0 (5) ↔ Поскольку решение (5) - единственное, то М=0 и по (4) получаем: lF'_x(x₀;y₀)+mF'_y(x₀;y₀)=0 (6). Таким образом доказали следующую теорему: Теорема: прямая (2) является касательной к линии (1) в точке М₀(x₀;y₀) ↔, когда справедлива пропорция (7). В предположении, что (7) имеет смысл и задаёт неасимптотическое направление. Заметим, что направление прямой (2) берётся с точностью до колинеарности вектора u={l,m}, т.е. характеризуется пропорцией l/m. Таким образом координаты направления вектора можно выразить следующим образом:

Тогда уравнение касательной имеет вид:

F'_x(x₀;y₀)(x-x₀)+F'_y(x₀;y₀)(y-y₀)=0 (9).

А уравнение нормали:

F'_x(x₀;y₀)(y-y₀)-F'_y(x₀;y₀)(x-x₀)=0 (10).

Если , то т. М₀(x₀;y₀):

Называется особой точкой линии (1) и в ней касательной не существует. Найдём уравнение касательной для канонических уравнений линии 2го порядка:1.)

2.)

3.) y²=2px; F_x'=-p; F_y'=y;

-p(x-x₀)+y₀(y-y₀)=0;

y₀y=y₀²+px-px₀=2px₀; y₀y=p(x+x₀)

4.) x²-y²=0 (11). В этом случае линия состоит из 2х прямых: y=x,y=-x, пересекающихся в т. (0;0). Очевидно, уравнение (9) в т. (0;0) выполняется тождественно, а при (x₀;y₀)=(0;0) уравнение (9) даёт одну из прямых y=x,y=-x; но поскольку эти прямые являются прямыми асимптотами направления, то касательными они не могут быть. Таким образом (11) ни в одной точке отличной от (0;0) касания не имеет. Любая прямая проходящая через (0;0) будет касательной к (11) в этой точке.

5.) y²=1 (12) Линия (12) состоит из 2х параллельных прямых y=1,y=-1. Уравнение (9) даёт 1 из этих прямых, следовательно ни в одной точке линии (12) касательной не существует.

6.) y²=0 (13) Линия (13) состоит из 2х совпадающих прямых y=0. Уравнение (9) в этом случае удовлетворяется тождественно, следовательно любая прямая проходит через т. М₀(х;0) и отличныая от y=0 является касательной к линии (13). Следовательно для линий 2го порядка распадающихся на пару прямых касательные существуют только в общих точках этих прямых и для любой такой точки каждая прямая проходящая через неё (отличная от данной) будет касательной. Последний вывод находится в некотором противоречии с общепринятым представлением о касательной. Если прямая имеет асимптоту направления (L=0), то уравнение (3) будет линейным и тогда 2Mt+N=0: 1.) если 1 корень, то прямая пересекает линию в 1 точке, но касательной не является;

2.) если не имеет корней, то прямая не имеет с линией ни одной общей точки;

3.) L=0, M=0, N=0: бесконечное число решений – прямая целиком принадлежит линии (1). Поскольку эти случаи рассматривают полностью полученное уравнение, то прямая имеющая 3 общие точки с линией – целиком в этой линии. Найдём условие при котором прямая Ax+By+C=0 (14) является касательной к эллипсу, гиперболе, параболе:

1.) (15);M₀(x₀;y₀) принадлежит эллипсу, т.е. (16). Уравнение касательной к эллипсув этой точке имеет вид: (17). Тогда (17) совпадает с (14) в случае: