§22.Определение канонического уравнения линии 2-го порядка при помощи ортогональных инвариантов.

Т-ма1:Для того, чтобы линия 2-го порядка, задана общим уравнениемВида (1) относительно ПДСК, относилась к I группе чтоб I2 0;к II группе чтоб I2=0, I3 0; к III группе чтоб I2= I3=0, I1 0.

Доказ: Пусть линия задана уравнением (1),тогда при помощи перехода к новой ПДСК это уравнение может быть приведено к одному из следующих 3-х видов:

I. (2)

I₂=

II. (3)

I₂= ;

I₃=

III. (4)

I₂= ;

I₃=

I₁=a₁₁≠0

Метод от противного.Пусть I₂

Теорема 2:Если линия 2-го порядка задана относительно ПДСК уравнением вида (1), то ее каноническое уравнение (простейшее) уравнение в зависимости от принадлежности к группе имеет вид:

I. (6)

II. (7)

III. (8)

Где -корни характери стического уравнения (5)

Док-во:Пусть линия 2-го порядка пренадлежит II-му типу, тогда ее простейшее уравнение имеет вид (2).В этом случае:

I₁=

I₂=

Тогда и корни (5), тоесть .

Найдем I₃:

I₃=

Получаем (6).

Пусть линия (1) имеет простейшее уравнение (3)

I₁=

I₂=0

I₃=

Получаем вид (7).

Пусть линия (1) имеет вид (4)

I₁=

I₂=0;

I₃=0;

К₂=

Следовательно, имеем вид (8).

Доказано.

§23. Таблица для определения вида линии 2-го порядка по ортогональным инвариантам.

Пусть в ОДСК линия 2-го порядка задана общим уравнением вида (1)

Т-ма: В следующей таблице даны необходимые и достаточные условия каждого из девяти класов линий 2-го порядка:

Тип лин.	Призн. типа	Простейшее уравнение	Признвида	Канон ур.	Название
Центральные	I2≠0		I2>0 I1* I3<0		элипс
			I2>0 I1 I3>0		Мним. элипс
			I2>0 I3=0		пара мним. пр-ых
			I2<0 I3≠0		гипербола
			I2<0 I3=0		пара перес. пр-ых
нецентр	I2=0 I3≠0		I2=0 I3≠0		парабола
Прямая центров	I2=0 I3=0 I1≠0		I2=0 I3=0 I1≠0 K2<0		пара парал. пр.
			I2=0 I3=0 I1≠0 K2=0		пара совп. пр.
			I2=0 I3=0 I1≠0 K2>0		пара мн. парал. прям.

Доказательство.

1) Пусть I₂>0, I₁* I₃<0,тогда корни характеристического уравнения

имеют одинаковые знаки, I2= . Поскольку I₁* I₃<0, то знак I₁ будет одинаковым со знаком , а I₃ имеет знак противоположный им. Следовательно, если в простейшем уравнении линии последнее слагаемое перенести в правую часть и разделить на него, то получим уравнение

,и посколько в знаменателях величины положительные, то имеем каноническое уравнение элипса с полуосями , .

2) Пусть I₂>0 I₁* I₃>0, тогда и I₃ имеют одинаковые знаки.Следовательно, получим уравнение вида

- каноническое уравнение мнимого элипса.

3) Пусть I₂>0 I₃=0 Тогда простейшее уравнение будет иметь вид , I₂>0, следовательно - .Получим каноническое уравнение пары мнимых прямых.

4) Пусть I₂<0, I₃≠0, имеют разные знаки. Пусть имеет знак одинаковый с I₃,тогда

- гипербола с полу осями , .

5) Пусть I₂<0, I₃=0 Тогда простейшее уравнение линии имеет вид ,где имеют разные знаки. если ,а ,то

- пара пересекающихся прямых.

6) Пусть I₂=0, I₃≠0, - простейшее уравнение линии,что и является каноническим уравнением параболы.

7) Пусть I₂=0, I₃=0, I₁≠0,тогда простейшее уравнение линии имеет вид: .Если K2<0 – имеем каноническое уравнение пары паралельных прямых;Если K2=0 – имеем каноническое уравнеие пары совпадающих прямых;Если K2>0 – имеем каноническое уравнение мнимых паралельных прямых.Поскольку все признаки видов взаимоисключающие друг друга, то использую метод от противного можно доказать все.Следствие:Для того, чтобы линия 2-го порядка заданая относительно ОДСК общим уравнением вида (1) распадалась на 2 прямые необходимо и достаточно, чтоб I3=0. Доказательство: Из доказательства теоремы следует, что для линий I-й группы при I3=0 получим пару пересекающихся прямых и для III-й группы – все линии распадаются на 2 прямые.