§20. Уравнение линий второго порядка, отнесенное к двум ее сопряженным диаметрам.

Рассмотрим линию заданную в ОДСК:

(1)

- направление ОХ’ , - направление ОУ’

М(х,у) – произвольная точка М(х’,у’)

Эти координаты связаны между собой соотношением (2):

(2)

Если подставить (2) в левую часть (1) то получим уравнение вида:

(3)

где

Если линия (1) является центральной, то выберем оси ОХ’ и ОУ’ так, что бы и были взаимно-сопряжёнными диаметрами линии (1), тогда мы получаем что , то есть в (3) отсутствует член с х’у’.

Теорема 1: Если относительно ОДСК линия второго порядка задана общим уравнением вида (1), то для того, чтобы одна из осей имела направление диаметра сопряженный хордам и параллельный другой оси необходимо и достаточно в уравнении (1) то есть чтобы уравнение имело вид (4):

(4)

Если теперь и пара взаимно-сопряженных направлений, и диаметры являлись координатными осями, линия имеет единственный центр, и этот центр – начало координат, то коэффициенты и одновременно=0.(№17)

Следовательно справедлива

Теорема 1: Если относительно ОДСК линия второго порядка задана общим уравнением вида (1) и имеет единственный центр, то если оси координат являются сопряженными диаметрами этой линии, а начало координат ее центром, то уравнение ее линии:

(5)

Верно и обратное:

Если уравнение линии имеющей единственный центр имеет относительно ОДСК вид (5), то начало координат – центр линии, а оси – сопряженные диаметры.

Если и направления асимптот. Асимптоты можно рассмотреть как те диаметры кривой, которые сами себе сопряжены.

Асимптоты могут быть только у центральных кривых.

Если асимптоты принять за оси координат, то коэффициенты при и одновременно=0 и тогда уравнение гиперболы: (6)

§21. Уравнение линий второго порядка в одск, если направление осей является главными.

Рассмотрим ПДСК ХОУ и пусть кривая второго порядка задана общим уравнением вида (1):

(1)

Перейдем к новой СК Х’ОУ’. ОХ’ и ОУ’ имеют направление вектора и нормированы. При этом переходе, к СК было показано что (1) имеет вид: (№20)

(2)

(3) .

Если вектор имеет главное направление линии (1) и ему соответствует характерное число , то тогда

(4)

Если имеет также главное направление линии (1) и ему соответствует характерное число , то тогда

(5)

Рассмотрим :

Аналогично используя (5)

Таким образом если координатные оси новой ПДСК являются главными направляющими то коэффициентами в уравнении (2) при квадратах будут равны корням характерного уравнения и . Поскольку главные направления являются взаимно-сопряжёнными , то (по №20) . В этом случае уравнение линии имеет вид:

(6)

Если предположить, что линия (1) является центральной ( центр ( )) то переместив начало координат в центр линии мы получим новую СК Х’’О’’У’’.

(7)

Очевидно коэффициенты при квадратах в уравнении (6) не изменятся, но при перемещении центра координат в центр линии пропадут члены х,у.

(8)

Если линия не имеет центра тогда один из корней то в этом случае главное направление которое соответствует нулевому корню – является асимптотическим и тогда уравнение имеет вид

(9)

Если имеем параболу, то главное направление (ось симметрии). Если центр переместить в вершину, касательную взять за ось координат, то (10)