- •§1. Общее уравнение линий второго порядка. Приведение общего уравнения к простейшим уравнениям линий второго порядка
- •§2. Линии, определяемые общим уравнением линий второго порядка.
- •§3. Эллипс и его каноническое уравнение
- •§4.Исследования формы эллипса. Эксцентриситет эллипса.
- •§5.Директрисы эллипса и их свойства.
- •§6. Эллипс, как образ окружности при равномерном сжатии его диаметра. Параметрическое уравнение Эллипса
- •§7. Исследование форм гиперболы
- •§8. Исследование форм гиперболы.
- •§9. Эксцентриситет и директрисы гиперболы.
- •§10. Параметрическое уравнение гиперболы. Сопряжённые гиперболы
- •§11.Парабола и ее каноническое уравнение
- •§12.Общие определения эллипса, гиперболы и параболы через эксцентриситет.
- •§13.Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы.
- •§14. Взаимное расположение прямой и линии 2го порядка. Асимптотическое направление. Классификация линий 2го порядка по их асимптотическим направлениям.
- •§15. Касательная и нормаль линии 2го порядка, их уравнения.
- •§16. Оптические свойства линий 2го порядка.
- •§17 Центр линий 2го порядка. Их классификация по характеру места центров.
- •§18 Диаметр, сопряженный данному неасимтотическому направлению. Сопряженные направления и диаметры. Особые и неособые направления.
- •§19 Главное направленние. Главный диаметр.
- •§20. Уравнение линий второго порядка, отнесенное к двум ее сопряженным диаметрам.
- •§21. Уравнение линий второго порядка в одск, если направление осей является главными.
- •§22.Определение канонического уравнения линии 2-го порядка при помощи ортогональных инвариантов.
- •§23. Таблица для определения вида линии 2-го порядка по ортогональным инвариантам.
- •§24. Построение центральной линии 2-го порядка заданной общим у-нием.
- •§27.Побудова лінії 2 порядку, як канонічний перетин.
§1. Общее уравнение линий второго порядка. Приведение общего уравнения к простейшим уравнениям линий второго порядка
Линией второго порядка называется ГМТ, которое в некоторой декартовой системе координат задается уравнением: (1)
где хотя бы один из коэффициентов а11, а12, а22 , отличен от нуля. Систему координат можно предполагать ОДСК, однако не сужая общности можно считать, что уравнение (1) задано в ПДСК. Теорема: общее уравнение линии второго порядка вида (1) задано относительно ПДСК. При помощи поворота осей координат и переноса можно привести к одному из следующих трех видов:
Уравнения (2),(3),(4) называются простейшими уравнениями линий второго порядка. Доказательство: покажем, что можно от исходной ПДСК перейти к новой ПДСК путем поворота осей на угол α так, что в новой ПДСК будет отсутствовать член с ху. Предположим, что а12≠0, тогда повернем ОХ и ОУ на некоторый угол α, тогда координаты т. М(х,у) в системе ХОУ через координаты (х`, у`) уже в новой системе Х`ОУ` имеют вид: (5)
Подставим (5) в уравнение (1), в итоге получим:
приведя подобные, выразив х`, у`, получим уравнение вида:
Где:
Поскольку должен быть равен нулю, то получаем уравнение (7)
Поскольку: (8)
Решая уравнение (8) находим угол α. Следовательно, при повороте плоскости ХОУ на полученый угол α в уравнении (6) будет отсутствовать член х`у`. таким образом, существует ПДСК, в которой уравнение вида (1) имеет вид (9):
1.) Если . Выделим в уравнении (9) полные квадраты возле и . Получим: (10)
Произведем параллельный перенос осей ОХ` и ОУ` так, чтобы точка О перешла в О`. О` тогда мы получим новую систему координат ХО`У, где
Тогда в новой системе координат уравнение (9) имеет вид , где
, то есть получим уравнение (2);
2.)Если
Пусть, тогда уравнение (9) имеет вид (11):
Выделим полный квадрат возле :
Произведем параллельный перенос оси ОХ` и ОУ` так, чтобы новым началом координат стала точка О`
В результате получим новую систему координат ХО`У, где
В результате уравнение (1) примет вид , то есть уравнение, вида (3).
3.)Если Пусть например . Тогда уравнение (9) имеет вид (12). Выделяем полный квадрат (13). Перенесем оси координат так, что бы новым центром О`( ;0). Получим новую систему координат ХО`У, где
Тогда уравнение (1) примет вид , то есть (4).
§2. Линии, определяемые общим уравнением линий второго порядка.
Груп. |
№ |
Урав-ие |
Название |
І |
1
2
3
4
5 |
|
Эллипс
Мнимый эллипс
Две мн. пере- сек. прям.
Гипербола
Две пересек. прямые |
ІІ |
6 |
|
Парабола |
ІІI |
7
8
9 |
|
2 паралл. пр.
2 мн. парал. пр.
Две совп. пр. |
Доказательство:
Перейдем от ОДСК к ПДСК при этом очевидно порядок линий не меняется, и следовательно, уравнение будет иметь тот же вид. Уравнение (1) задано в ПДСК. Общее уравнение вида (1) может быть приведено к одному из следующих видов:
Пусть имеем уравнение вида (2):
І. 1.) и D имеет противоположный им знак ,
Обозначим через Получаем →эллипс.
2.) , D – одного знака , .
Обозначим:
получим
→мнимый эллипс.
3.) , ,
→2 мнимые пересекающиеся прямые.
4.) , ,
→гипербола.
5.)
→2 пересекающиеся прямые.
ІІ. 6.) Обозначив через получим →парабола.
ІІІ. 7.) Уравнение вида (4) можно привести к , получим →2 параллельные прямые.
8.) , получаем х2 = - а2
→2 мнимые параллельные прямые.
9.) D=0, получаем х2 =0 →2 совпадающие прямые.