2. Непрерывные случайные величины
Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если множество ее возможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечный интервал или системы интервалов на числовой оси.
Например, непрерывными случайными величинами являются: температура больного в фиксированное время суток, масса наугад выбранной таблетки некоторого препарата, рост наугад выбранного студента и др.
Непрерывную случайную величину нельзя задать в виде таблицы ее закона распределения, поскольку невозможно перечислить и выписать в определенной последовательности все ее значения, а также потому, что вероятность любого конкретного значения непрерывной случайной величины равна нулю.
Одним из возможных способов задания непрерывной случайной величины является использование с этой целью соответствующей функции распределения.
Функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х, называется функцией распределения данной случайной величины:
F(x) =P(X<x), (6)
Свойства функции распределения:
Функция распределения удовлетворяет неравенству:
0
F(x)
1,
(7)
2. Функция
распределения является неубывающей
функцией, т.е. из
х2>х1
следует
F(x2)
F(x1).
3. Функция распределения стремится к 0 при неограниченном убывании ее аргумента и стремится к 1 при его неограниченном возрастании.
Плотностью распределения вероятностей (плотностью вероятности) f (x) непрерывной случайной величины Х называется производная функции распределения F(x) этой величины:
f(x)=F'(x),
Под основными числовыми характеристиками непрерывной случайной величины понимают, как и в случае дискретной случайной величины, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Математическое ожидание непрерывной случайной величины:
М
(Х)=
=
,
(15)
Дисперсия непрерывной случайной величины:
D
(Х) =
=
,
(16)
Среднее квадратическое отклонение, как и для дискретной случайной величины, определяется формулой:
, (17)
Нормальный закон распределения
Из известных видов распределения непрерывных случайных величин наиболее часто используют нормальное распределение, которое задается законом Гаусса. К нормальному закону распределения при весьма часто встречающихся условиях приближаются другие законы. Так, если мы имеем сумму большого числа независимых величин, подчиненных каким угодно законам распределения, то при некоторых общих условиях она будет приближенно подчиняться нормальному закону.
Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону (закону Гаусса), если ее плотность вероятности имеет вид
,
(18)
где μ - математическое ожидание; σ2 - дисперсия; σ - среднее квадратическое отклонение этой величины.