5.1 Упрощение логических выражений.

Строиться на основе теорем алгебры и логики

1.Закон нулевого множества:

0 v x = x;

0 & x = 0;

0 & x₁ & x₂ &... & x_n &... = 0.

2.Закон универсального множества:

1 & x = x;

1 v x = 1;

1 v x₁ v x₂ v... v x_n v... = 1.

3.Закон повторения:

x & x = x;

x v x = x.

4.Закон двойной инверсии: --х = x.

5.Законы дополнительности:

а) исключенного третьего x v x = 1.

б) логическое противоречие x & x = 0.

6.Коммутативный (переместительный) закон: x & y = y & x; x v y = y v x.

7.Ассоциативный (сочетательный) закон:

x&(y&z) = (x&y)&z = x&y&z;

x v (yvz) = (xvy) v z = x v y v z.

8.Дистрибутивный (распределительный) закон:

x&(y v z) = x&y v x&z;

x v y&z = (x v y)&(x v z).

9.Законы поглощения:

x & (x v y) = x;

x v x&y = x.

x & (x v y) = x & y;

x v x&y = x v y.

10.Законы склеивания:

а) полного

x&y v x&y = x;

(x v y)&(x v y) = x.

б) неполного

x&y v x&y = x v x&y v x&y;

(xvy)&(xvy) = x&(x v y)&(x v y).

11.Законы инверсии (теоремы де Моргана):

x1&x2&... &xn = x1vx2v... vxn;

x1vx2v... vxn = x1&x2&... &xn.

12.Теоремы разложения (декомпозиции ЛФ):

f (x,y,...,z) = x& f (1,y,...,z) v x& f (0,y,...,z);   (1.16a)

f (x,y,...,z) = (xv f (0,y,...,z))&(xv f (1,y,...,z)). (1.16b)

13.Теорема Шеннона (обобщение теорем де Моргана):  

f (x,y,...,z,&,v)=f (x,y,...,z,v,&).

Данная теорема утверждает, что инверсия любой функции в АЛ получается путем замены каждой переменной ее инверсией и одновременно взаимной заменой символов конъюнкции и дизъюнкции.