§6. Ряды Фурье

Тригонометрический ряд

,

коэффициенты которого определяются через функцию по формулам

,

,

называется тригонометрическим рядом Фурье функции , а коэффициенты , определяемые по этим формулам, называются коэффициентами Фурье функции .

Функция , определенная на отрезке , где , называется четной, если

для всех .

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция , определенная на отрезке , где , называется нечетной, если для всех .

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Если функция четна на отрезке и имеет период , то для всех

Коэффициенты Фурье четной функции будут равны

Следовательно, ряд Фурье четной функции имеет вид .

Если функция нечетна на отрезке и имеет период 2, то для всех

Коэффициенты Фурье нечетной функции будут равны

Следовательно, ряд Фурье нечетной функции имеет вид .

Функция называется кусочно монотонной на , если этот отрезок разбивается на конечное число сегментов, в каждом из которых функция монотонна.

Если функция монотонна на , то в любой внутренней точке этого отрезка существуют правые и левые пределы ее значений, то есть пределы

Теорема Дирихле. Если функция задана на сегменте и является на нем кусочно непрерывной, кусочно монотонной и ограниченной, то ее тригонометрический ряд Фурье сходится во всех точках сегмента .

Если — сумма тригонометрического ряда Фурье функции , то во всех точках непрерывности этой функции

,

а во всех точках разрыва

.

Кроме того,

.

Пример 6.1. Для функции , вычислить коэффициенты Фурье и записать тригонометрический ряд. Проверить условия теоремы Дирихле.

Решение. Вычислим коэффициенты тригонометрического ряда:

функция нечетная и период .

Таким образом, ,

,

при

Функция непрерывна и имеет два экстремума на заданном периоде. Условия теоремы Дирихле выполнены.

Индивидуальные домашние задания

Задача №1. Найдите сумму ряда, пользуясь определением.

1.	;	2.	;
3.	;	4.	;
5.	;	6.	;
7.	;	8.	;
9.	;	10.	;
11.	;	12.	;
13.	;	14.	;
15.	;	16.	;
17.	;	18.	;
19.	;	20.	;
21.	;	22.	;
23.	;	24.	;
25.	;	26.	;
27.	;	28.	;
29.	;	30.	.

Задача №2. Установите вид сходимости или расходимости данных рядов. Укажите признак.

1.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	2.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	3.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
4.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	5.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	6.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
7.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	8.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	9.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
10.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	11.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	12.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
13.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	14.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	15.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
16.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	17.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	18.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
19.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	20.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	21.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
22.	a) b) ; c) d) ; e) .	23.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	24.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
25.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	26.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	27.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .
28.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	29.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .	30.	a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Задача №3. Найдите область сходимости данного ряда.

1.	;	2.	;
3.	;	4.	;
5.	;	6.	;
7.	;	8.	;
9.	;	10.	;
11.	;	12.	;
13.	;	14.	;
15.	;	16.	;
17.	;	18.	;
19.	;	20.	;
21.	;	22.	;
23.	;	24.	;
25.	;	26.	;
27.	;	28.	;
29.	;	30.	.

Задача №4. Разложите функцию в ряд Тейлора, в ряд Маклорена по степеням .

1.	;		2.	;	0.
3.	;	.	4.	;
5.	;		6.	;	-2.
7.	;	4.	8.	;	.
9.	;		10.	;	2.
11.	;	.	12.	;	1.
13.	;	.	14.	;
15.	;	-1.	16.	;
17.	;	-1.	18.	;
19.	;		20.	;
21.	;		22.	;	1.
23.	;		24.	;
25.	;		26.	;	1
27.	;		28.	;
29.	;		30.	;

Задача №5. Вычислите данный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд, взяв три члена разложения, и оцените погрешность полученного результата.

1.	;	2.	;
3.	;	4.	;
5.	;	6.	;
7.	;	8.	;
9.	;	10.	;
11.	;	12.	;
13.	;	14.	;
15.	;	16.	;
17.	;	18.	;
19.	;	20.	;
21.		22.
23.	;	24.	;
25.		26.	;
27.	;	28.	;
29.	;	30.	.

Задача №6. Найдите пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.

1.	;	,	.
2.	;	,	.
3.	;	.
4.	;	,	.
5.	;	,	.
6.	;	,	.
7.	;	,	.
8.	;	.
9.	;	.
10.	;	,	.
11.	;	,	.
12.	;	.
13.	;	.
14.	;	,	.
15.	;	.
16.	;	,	.
17.	;	.
18.	;	.
19.	;	.
20.	;	.
21.	;	,	.
22.	;	,	.
23.	;	,
24.	;	,	.
25.	;	,	.
26.	;	,	.
27.	;	,	.
28.	;	,	.
29.	;	,	.
30.	;	,	.

Задача №7. Для функции на заданном интервале:

1) вычислите коэффициенты Фурье и запишите тригонометрический ряд;

2) проверьте условия Дирихле.

1. а)	b)
2. а)	b)
3. а)	b)
4. а)	b)
5. а)	b)
6. а)	b)
7. а)	b)
8. а)	b)
9. а)	b)
10. а)	b)
11. а)	b)
12. а)	b)
13. а)	b)
14. а)	b)
15. а)	b)
16. а)	b)
17. а)	b)
18. а)	b)
19. а)	b)
20. а)	b)
21. а)	b)
22. а)	b)
23. а)	b)
24. а)	b)
25. а)	b)
26. а)	b)
27. а)	b)
28. а)	b)
29. а)	b)
30. а)	b)