§3. Знакопеременные ряды

Числовой ряд , членами которого являются действительные числа, называется знакопеременным.

Частным случаем знакопеременного ряда является знакочередующийся ряд. Ряд называется знакочередующимся, если члены этого ряда поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки.

Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, будучи взяты по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то этот ряд сходится.

Другими словами, знакочередующийся ряд сходится, если выполняются условия:

1) ;

2) .

Можно доказать, что сумма сходящегося знакочередующегося ряда не превосходит абсолютную величину первого члена этого ряда.

Пример 3.1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Члены этого ряда, взятые по модулю, образуют невозрастающую бесконечно малую последовательность, то есть

и .

По признаку Лейбница, ряд сходится.

Справедливо следующее утверждение:

Знакопеременный ряд сходится, если сходится ряд из абсолютных значений его членов .

Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Ряд называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей расходится.

Например, ряд является абсолютно сходящимся при , так как при сходится ряд (см. пример 2.7).

Ряд является условно сходящимся, так как сам ряд сходится (см. пример 3.1), а ряд, составленный из модулей , представляет собой гармонический ряд и, следовательно, расходится.

§4. Степенные ряды

Ряд , члены которого — функции аргумента х, определенные на одном и том же множестве, называется функциональным.

Таким образом, функциональный ряд определяет множество числовых рядов, получаемые из него подстановкой вместо переменной значений из области определения. Эти числовые ряды могут сходиться при одних значениях переменной и расходиться при других. Совокупность значений аргумента х, при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Функциональный ряд вида

,

где — постоянные действительные числа, называется степенным.

Если , то степенной ряд имеет вид

.

При нахождении области сходимости степенного ряда используют следствие теоремы Абеля:

для всякого степенного ряда существует интервал сходимости , внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого расходится.

Число R называется радиусом сходимости степенного ряда. На концах интервала сходимости, для выяснения характера поведения ряда, требуется дополнительное исследование.

Радиус сходимости степенного ряда можно найти по формулам

или .

Пример 4.1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Найдем радиус сходимости

Следовательно, интервал сходимости будет , то есть .

Исследуем сходимость ряда на концах интервала.

Пусть , тогда степенной ряд примет вид .

Сравним числовой ряд с обобщенным гармоническим рядом . Применим второй признак сравнения

.

Так как предел конечен и отличен от нуля, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно. Так как ряд сходится (см. пример 2.7), то сходится и ряд . Следовательно, точка принадлежит области сходимости.

Пусть , тогда степенной ряд примет вид .

Ряд является знакочередующимся. Абсолютные величины членов этого ряда монотонно убывают и . По признаку Лейбница, ряд сходится. Следовательно, точка принадлежит области сходимости.

Таким образом, областью сходимости степенного ряда будет отрезок .