§5. Применение степенных рядов к вычислению определенных интегралов и к решению дифференциальных уравнений

Рядом Тейлора функции относительно точки называется степенной ряд вида

Коэффициенты этого ряда

называются коэффициентами Тейлора функции .

Укажем алгоритм разложения функции в ряд Тейлора по степеням .

1) Записать общий вид ряда Тейлора.

2) Найти производные . Установить закономерность для .

3) Вычислить значение функции и значения производных для . Установить закономерность.

4) Подставить найденные значения в ряд Тейлора.

5) Найти область сходимости ряда Тейлора.

6) Записать разложение в ряд с указанием области сходимости.

Пример 5.1. Разложить в ряд Тейлора по степеням функцию .

Решение.

1) Записываем ряд Тейлора, :

.

2) Находим производные:

3) Вычисляем значение функции и значения производных при :

4) Подставляем найденные значения в ряд Тейлора:

(1)

5) Находим область сходимости ряда Тейлора (1):

, Следовательно, интервал сходимости .

Исследуем ряд на концах интервала. При ряд (1) имеет вид

При ряд (1) имеет вид

Это знакочередующийся ряд и, применяя признак Лейбница, получаем , то есть он сходится. Так как ряд, составленный из абсолютных величин расходится, то при ряд (1) сходится условно.

Область сходимости ряда (1) .

6) Записываем разложение функции по степеням с указанием области сходимости:

Ряд Тейлора , при , называют рядом Маклорена.

Приведем разложения в ряд Маклорена для некоторых элементарных функций:

Степенной ряд можно почленно интегрировать и дифференцировать в любой точке его интервала сходимости.

Пример 5.2. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001.

Решение. Разложим подынтегральную функцию в ряд. Имеем

Заменяя t на получим

.

Подставляя разложение подынтегральной функции в интеграл, получаем:

Можно ограничиться первыми тремя членами ряда, так как четвертый член знакочередующегося ряда меньше 0,001, поэтому сумма ряда, начинающегося с четвертого члена, будет меньше 0,001 и, в рамках заданной точности, весь этот ряд можно отбросить.

Пример 5.3. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию .

Решение. Для решения поставленной задачи воспользуемся методом последовательного дифференцирования. Будем искать решение с помощью ряда Маклорена.

.

Из начального условия , тогда . Для нахождения следующего коэффициента продифференцируем обе части уравнения , получим

Решение дифференциального уравнения имеет вид

.

Пример 5.4. Найти решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .

Решение. Для решения задачи воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Разложим свободный коэффициент уравнения в степенной ряд

.

Решение уравнения будем искать в виде .

Тогда

Из начальных условий находим: .

Для нахождения следующих коэффициентов подставляем полученные разложения для в дифференциальное уравнение

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях :

	;
	;
	;
	…

Учитывая, что находим, что , . Таким образом, решение уравнения имеет вид

,

то есть .