Министерство транспорта Российской Федерации

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

Самарская государственная академия путей сообщения

Кафедра «Высшая математика»

РЯДЫ

Методические указания

и индивидуальные домашние задания

для студентов 2 курса очной формы обучения

всех специальностей

Составители: Шур В.Л.

Сеницкий А.Ю.

Додонова Н.Л.

Латыпова Н.М.

САМАРА 2005

УДК 517

Ряды: Методические указания и индивидуальные домашние задания для студентов- очной формы обучения всех специальностей. – Самара.- СамГАПС, 2005. – 26 с.

Утверждено на заседании кафедры «Высшая математика» от 24.03.05 г., протокол №6.

Печатается по решению редакционно-издательского совета академии.

Методические указания и индивидуальные домашние задания составлены в соответствии с Государственным образовательным стандартом и типовой программой по высшей математике и охватывают раздел общего курса: ряды и их применение.

Указания предназначены для студентов-очников всех специальностей.

Составители: доц. Валерий Леонидович Шур

доц. Александр Юрьевич Сеницкий

доц. Наталья Леонидовна Додонова

доц. Наиля Масхутовна Латыпова

Рецензенты: к.ф.-м.н., доцент СГУ Г.В. Воскресенская

к.ф.-м.н., доцент СамГАПС В.П. Кузнецов

Под редакцией авторов

Подписано в печать 11.05.05. Формат 60 х 90 /16.

Бумага писчая. Печать оперативная. Усл. п.л. 1,6.

Тираж 100 экз. Заказ № 72.

© Самарская государственная академия путей сообщения, 2005

§1. Числовые ряды

Основные определения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность . Числовым рядом с общим членом называется выражение вида

.

Числовой ряд обозначается .

Например, если , то ряд имеет вид:

или

.

Сумма первых n членов ряда называется n-ой частичной суммой и обозначается , . Так, например,

Последовательность называется последовательность n-ых частичных сумм.

Числовой ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, то есть если существует предел . Значение s этого предела называется суммой ряда . Если последовательность частичных сумм не имеет конечного предела, ряд называется расходящимся.

Пример 1.1. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Пользуясь известным тождеством , находим, что

.

Так как

,

то ряд сходится и его сумма равна 1.

Пример 1.2. Исследовать на сходимость ряд, составленный из членов геометрической прогрессии

, где .

Решение. Известно, что сумма n первых членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле .

Тогда .

Если , то . Если , то .

Таким образом, ряд , составленный из членов геометрической прогрессии сходится при и расходится при .

§2. Признаки сходимости числовых рядов

Лишь в редких случаях удается получить выражение для , содержащее ограниченное число слагаемых, и непосредственно найти . Обычно, для исследования рядов на сходимость, используют признаки сходимости.

Необходимый признак сходимости ряда.

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Из этого признака непосредственно вытекает, что, например, ряд расходится, так как его общий член не стремится к нулю, . Однако, следует отметить, что стремление к нулю общего члена к нулю является лишь необходимым признаком сходимости, но не является достаточным. Например, общий член ряда стремится к нулю, , а сам ряд является расходящимся.

Ряд называется гармоническим. Полезно запомнить, что гармонический ряд расходится.

Свойства сходящихся рядов.

1. Ряд не может иметь двух различных сумм.

2. Если ряд сходится, то и любой ряд, полученный из него группировкой слагаемых, сходится и имеет ту же сумму, что и исходный.

3. Если ряды и сходятся, то сходится и ряд , причем + = .

4. Если ряд сходится, то сходится и ряд , где , причем = .

Далее сформулируем признаки сравнения.

Первый признак сравнения. Пусть даны два ряда и , члены которых неотрицательны, причем для всех n выполняется неравенство . Тогда

1) если сходится ряд , то сходится и ряд ,

2) если расходится ряд , то расходится и ряд .

Пример 2.1. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Очевидно, что для любого n=1, 2, … справедливо неравенство . Сравним исходный ряд с рядом , составленным из членов геометрической прогрессии с основанием . Поскольку ряд сходится и для всех n , то по первому признаку сравнения, ряд сходящийся.

Второй признак сравнения. Пусть даны два ряда и , члены которых неотрицательны и пусть существует конечный предел . Тогда при оба ряда одновременно сходятся, либо одновременно расходятся. Если же , то из сходимости ряда вытекает сходимость ряда , а из расходимости ряда — расходимость ряда .

Пример 2.2. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим рядом . Вычислим предел

.

Согласно второму признаку сравнения ряды и сходятся или расходятся одновременно. Поскольку гармонический ряд является расходящимся, то и ряд расходится.

Признак Даламбера. Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел отношения последующего члена к предыдущему: . Тогда

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 2.3. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Вычислим предел отношения последующего члена к предыдущему: :

.

По признаку Даламбера заключаем, что ряд расходится.

Пример 2.4. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим признак Даламбера. Так как , , то и .

Так как , то ряд сходится.

Радикальный признак Коши. Пусть все члены ряда положительны и пусть существует предел . Тогда

1) если , то ряд сходится;

2) если , то ряд расходится;

3) если , то ряд может как сходится, так и расходится.

Пример 2.5. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Вычислим предел

.

Согласно радикальному признаку Коши, ряд сходится.

Пример 2.6. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим радикальный признак Коши.

.

Так как , то ряд расходится.

Интегральный признак Коши. Пусть функция определена, непрерывна, положительна и монотонно убывает на луче и стремится к нулю при . Пусть и . Тогда числовой ряд сходится в том и только в том случае, если сходится несобственный интеграл .

Пример 2.7. Исследовать на сходимость ряд , .

Решение. Рассмотрим функцию . Она определена, непрерывна, положительна и монотонно убывает на луче , причем стремится к нулю при . Таким образом функция полностью удовлетворяет условиям интегрального признака Коши и, следовательно ряд будет сходиться в том и только в том случае, если сходится несобственный интеграл .

Вычислим несобственный интеграл при .

,

то есть интеграл расходится.

Вычислим несобственный интеграл при .

Если , то и интеграл расходится.

Если , то и , то есть интеграл сходится.

Итак, интеграл расходится при и сходится при . Согласно интегральному признаку Коши, ряд , расходится при и сходится при .

Ряд называется обобщенным гармоническим рядом.

Пример 2.8. Исследовать на сходимость ряд .

Решение. Применим интегральный признак Коши. Для этого рассмотрим несобственный интеграл

Так как соответствующий интеграл расходится, то расходится и ряд.