37. Расчет деревянных элементов цельного сечения при различных напряженно-деформированных состояниях. Расчет на устойчивость плоской формы деформирования

Расчет центрально-растянутых элементов: - в фермах, арках, т.е. в покрытиях.

Расчет - с учетом имеющихся ослаблений сечения. При нахождении площади следует учитывать ослабления, расположенные по длине до 200мм, т.к. они совместно могут служить причиной разрыва стержня.

, где -расчетная продольная сила; -площадь поперечного сечения элемента нетто;

- расчетное сопротивление древесины растяжению вдоль волокон;

Наличие ослаблений приводит к возникновению конценрации напряжений, что может явиться причиной снижения несущей способности элемента. Следовательно учитывается в расчете введением коэффициента условий работы у = 0,8

Расчет центрально-сжатых элементов:

Вследствие вязкой работы на сжатие концентрация напряжений у мест ослаблений существенно не оказывает влияния на снижение сопротивляемости элементов.

Расчет ц-сж элементов постоянного сечения следует производить по формулам:

а) На прочность б) на устойчивость – расчет сопрот древесины сжатию вдоль волокон;

- коэффициент продольного изгиба, и зависит от гибкости, определяется по графику, по таблицам, по формулам.

Для дерева гибкость определяется по формуле: , ,

где а - коэффициент для древесины а=0,8, для фанеры а=1, коэффициент А=3000 –для древесины; А=2500 – для фанеры

Гибкость элементов цельного сечения определяют по формуле , l₀-расчетная длина элемента; r-радиус инерции сечения элемента с максимальными размерами брутто соответственно осей Х или У.

Расчет длина элементов берем из СНиП табл 14, с учетом назначения сжатого элемента, определяем предельную гибкость, т.е. максимальную гибкость ( )

При отсутствии ослаблений или ослаблениях в опасных сечениях, не выходящих на кромки (а), если площадь ослаблений не превышает 25% F_бр, F_рас= F_бр, где F_бр – площадь сечения брутто; при ослаблениях, не выходящих на кромки, если площадь ослабления превышает 25% F_бр, F_рас=4/3F_нт,

При симметричных ослаблениях, выходящих на кромки (б), F_рас= F_нт,

3. Расчет изогнутых, сжато-изогнутых и растянуто-изогнутых деревянных элементов цельного сечения.

В изгибаемом элементе от нагрузок, действующих поперек его продольной оси, возникают изгибающие моменты и поперечные силы, определяемые методами строительной механики. Например, в середине пролета l однопролетной балки от равномерной нагрузки q возникает изгибающий момент . От изгибающего момента в сечениях элемента возникают деформации и напряжения изгиба , которые состоят из сжатия в одной части сечения и растяжения в другой, в результате элемент изгибается.

Древесина работает на изгиб достаточно надежно и момент имеет вторую категорию качества. На рис 1. показаны стандартный образец древесины и диаграмма его прогибов при испытании на изгиб. Диаграмма как и при сжатии, примерно до половины имеет линейное очертание, затем изгибается, показывая ускоренный рост прогибов. Разрушение образца начинается с появления складок крайних сжатых волокон и завершается разрывом крайних растянутых, в результате чего образец ломается при среднем напряжении изгиба.

Нормальные напряжения в сечениях изгибаемого элемента распределяется неравномерно по высоте. В начальной расчетной стадии древесина работает упруго и эпюра напряжений изображается прямой линией, показывающей максимальные напряжения сжатия и растяжения у кромок и нулевые у нейтральной оси сечения. При дальнейшем нагружении сжатая часть сечения начинает работать упругопластично, эпюра изгибается и нейтральная ось смещается в сторону растяжения. В стадии разрушения сжатая часть эпюры изгибается еще больше, напряжения сжатия и растяжения достигают предела прочности и элемент ломается.

Изгибаемые элементы рассчитывают по несущей способности: прочности на действие изгибающих моментов и поперечных сил от расчетных нагрузок и по прогибам от нормативные нагрузок. Их прочность и жесткость зависят от размеров и форм поперечных сечений, определяющих их геометрические характеристики – момент инерции, момент сопротивления и статический момент.

Для распространенных сечений деревянных элементов они равны: для прямоугольного с размерами b, h, ; Для круглого диаметром d ;

Площади ослаблений при вычислении I и S исключается.

Проверку изгибаемого элемента по прочности по нормальным напряжениям производят на действие максимального изгибающего момента от расчетных нагрузок по формуле , где

М- расчет изгиб момент; R_u –расч сопрот изгибу; W_расч – расч момент сопрот поперечного сечения элемента.

Для цельных элементов W_расч= W_нт; для изгибаемых составных элементов на податливых соединениях расчетный момент сопротивления принимают равным моменту сопротивления нетто W_нт, умноженному на коэффициент k_w; значение k_w для элементов, составляемых из одинаковых слоев, приведены в СНиП . При определении W_н ослабления сечений, расположенные на участке элемента длиной до 200мм, принимают совмещенными в одном сечении.

Подбор сечения изгибаемого элемента по прочности производят по этой же формуле, но относительно требуемого момента сопротивления W_тр, после чего задается один из размеров прямоугольного сечения, b или h, и определяется другой или вычисляется диаметр круглого сечения d по формулам:

Предельная расчетная нагрузка, которую может выдерживать изгибаемый элемент по прочности, когда все его размеры известны, может быть вычислена по формуле , но относительно изгибающего момента М. Например, однопролетная балка пролетом l, с размерами bh может выдерживать равномерную нагрузку, определяемую в следующем порядке:

Расчет изгибаемого элемента по прогибам заключается в определении его наибольшего относительного прогиба от нормативных нагрузок и проверке его значения (чтобы оно не превосходило предельного допускаемого нормами), т.е..

Относительный прогиб однопролетной балки при равномерной нормативной нагрузке равен:

При определении прогиба необходимо соблюдать единую размерность: l,м; Е=10000 МПа; I, м⁴; q, МН/м;

Если относительный прогиб балки, сечения которой подобрано по прочности, получается больше предельного, сечение д.б. увеличено и подобрано по прогибу, для чего формула прогиба д.б. переписана относительно требуемого момента инерции. Для однопролетной балки при равномерной нагрузке ; после этого можно задаться одним размером прямоугольного сечения и вычислить другой. Прочность древесины балок, сечение которого подобрано по прогибу, используется не полностью. Прямоугольные изгибаемые элементы выгоднее располагать большими сторонами сечения h в направлении действия нагрузки, поскольку их момент сопротивления пропорционален квадрату. А момент – кубу высоты.

Расчет изгибаемых элементов на прочность по скалыванию (расчет изгибаемых элементов на прочность по максимальным касательным напряжениям): В изгибаемых элементах от действия поперечных сил возникают сдвигающие силы Т и напряжения скалывания, равномерные по ширине сечений. По длине элемента они изменяются пропорционально поперечным силам и достигают максимума у опор, где в однопролетной балке при равномерной нагрузке .

По высоте сечений скалывающие напряжения распределяются неравномерно, возрастая от нулевых у кромок до максимальных у нейтральной оси. Они зависят прямо пропорционально от поперечной силы и статического момента скалываемой части сечения и обратно пропорционально от момента инерции и ширины сечения.

I – момент инерции сечения брутто относительно нейтральной оси;

S – статический момент брутто сдвигаемой части поперечного сечения элемента относительно нейтральной оси;

R_ск –расчетное сопротивление скалыванию при изгибе;

B – расчетная ширина сечения элемента;

Q –расчетная поперечная сила;

Расчет элементов цельного сечения на прочность при косом изгибе: косой изгиб возникает в элементах, оси сечений которых расположены наклонно к направлению нагрузок, например, в брусчатых прогонах скатных покрытий. При косом изгибе нормальные напряжения в сечениях суммируются и достигают максимальных значений сжатия только в верхнем, а растяжение – в нижнем углах прямоугольного сечения. Вертикальная нагрузка, например q, и изгибающие моменты при косом изгибе вдоль раскладываются на нормальную и скатную составляющие вдоль сечения: . Относительно этих осей определяют моменты инерции I_х и I_у и моменты сопротивления W_х и W_у сечений. Проверку прочности при косом изгибе производят по формуле:

М_х и М_у –составляющие расчетного изгибающего момента для главных осей сечения х и у;

W_х и W_у – моменты сопротивления поперечного сечения нетто относительно главных осей сечения х и у;

Подбор сечений косоизгибаемых элементов производят методом попыток, причем их следует устанавливать большими размерами сечений в направлении действия больших составляющих нагрузок. Расчет по прогибам производят с учетом геометрической суммы прогибов относительно каждой из осей сечений:

Прогибы при косом изгибе:

Расчет сжато-изогнутых элементов: Элементы, находящиеся при одновременном действии сжимающей нормальной силы и изгибающего момента, например рамы и арки, называют сжато-изгибаемыми.

В сечениях сжато-изгибаемого элемента возникают равномерные напряжения сжатия от продольных сил и напряжения сжатия и растяжения от изгибающего момента, которые суммируются.

Максимальные напряжения сжатия возникают в крайних волокнах сечений со стороны сжатия от изгиба. Разрушение сжато-изгибаемого элемента начинается с появления складок волокон в месте действия максимальных сжимающих напряжений и заканчивается разрывом растянутых волокон с противоположной стороны.

М_Д – изгибающий момент от действия поперечных и продольных нагрузок, определяемый из расчета по деформированной схеме.

Для шарнирно-опертых элементов при симметричных эпюрах изгибающих моментов синусоидального, параболического, полигонального и близких к ним очертаний, а также для консольных элементов М_Д определяется по формуле:

М_Д=М/ k_н, где k_н =1

Для шарнирно-опертых элементов с эпюрами изгибающих моментов треугольного и прямоуг. очертаний: k_н = + (1- )

=1,22 – коэффициент, который принимается при эпюрах изгибающих моментов треугольного очертания и 0,81- при эпюрах прямоугольного очертания (от постоянного изгибающего момента).

- коэффициент, изменяющий от1 до 0, учитывающий дополнительный момент от продольной силы вследствие прогиба элемента;

, где М – изг. момент в расчетном сечении без учета дополнительного момента от продольной силы;

- коэффициент продольного изгиба;

F_бр – площадь поперечного сечения элемента, принимая по наибольшему значению высоты сечения h.

При несимметричном загружении шарнирно-опертых элементов

М_Д=М_с/ + М_к/

М_с, , М_к, - изгибающие моменты в расчетном сечении элемента и коэффициенты определяемые по формуле при значениях гибкостей, соответствующих симметричной и кососимметричной нагрузкам и формам продольного изгиба;

При М_с/ расчет плоскости изгиба выполняют по формуле без учета изгибающего момента;

Проверяют элементы по касательным напряжениям по формуле , поставляя вместо Q значение Q_вн= Q/ ,

а прогиб , где f и определяются по СНиП.

Сжато-изгибаемые элементы прямоугольного поперечного сечения рассчитывают на устойчивость плоской формы деформирования , где F и W – максимальные значения соответственно площади и момента сопротивления поперечного сечения на рассматриваемом участке l₀ сечения; _у –коэффициент продольного изгиба для гибкости участка элемента расчетной длиной l₀ в плоскости, перпендикулярнорй плоскости деформирования, которые определяются для древесины в СНиП, с умножением на коэффициент k_жМ; k_жМ - коэффициент, учитывающий переменность высоты сечения по длине элемента, не закрепленного их плоскости по растянутой от момента кромке или при числе подкрепленных точек растянутой кромке менее четырех; _м – по кромки из плоскости деформирования, n=1 –для элементов с закрепленной растянутой кромкой. Определяется по формуле из СНиП.

-Задаемся размерами bh по сортаменту;

-находим геометрические характеристики F,W,N,M; -находим гибкость радиус инерции ;

-находим М_д ; проверяем устойчивость;

Растянуто-изогнутые элементы: Элементы, находящиеся при одновременном действии растягивающей продольной силы и изгибающего момента (например, нижний пояс фермы с подвесным потолком), называют растянуто-изгибаемыми.

В сечениях растянуто- изгибаемого элемента от продольной растягивающей силы возникают равномерные растягивающие напряжения, а от изгибающего момента М –напряжения изгиба, состоящие из сжатия на одной стороне сечения и растяжения на другой. Эти напряжения суммируются чему растягивающие напряжения увеличиваются, сжимающие уменьшаются. Наибольшие напряжения растяжения возникают в крайних сечениях в местах действия максимального момента. Следовательно начинается разрушение элемента от разрыва растянутых волокон древесины.

W_рас – расчетный момент сопротивления поперечного сечения;

F_рас – площадь расчетного сечения нетто;