3 . Предел числовой послед-ности. Теорема Больцано.

Опр-е. Число А наз-ся пределом послед-сти {х_n}, если номер N, зависящий только от ε, такой, что для всех n>N, удовлетворяют нер-ву . Пишут .

Число N зависит только от ε и потому пишут N (ε) или . Нер-во равносильно

А-ε<х_n<А+ε. Значит, если А - предел послед-сти {х_n}, то все ее члены с номерами n > N лежат ε -окрестности точки А. Члены с номерами n≤N могут находиться где угодно, но начиная с Х_N+1 все они находятся в (А- ε,А+ ε). Так, что вне этого интервала наход-ся только конечное число членов.

{}-сть, имеющая предел, наз-ся сходящейся. {}-сть, не явл-ся сходящейся, наз-ся расходящейся.

Т. (Больцано - Вейерштрасса). Из любой ограниченной {}-сти можно выделить сходящуюся под{}-сть.

Д-во. Пусть {х_n} ограничена т.е. . Разделим [а,b] пополам. По крайне мере одна из половин содержит ∞-ное мн-во элементов из {х_n}. Эту половину обозначим через [а₁,b₁]. Пусть - какой - нибудь член {}-сти, лежащий в [а₁,b₁]. Разделим [а₁,b₁] опять пополам, Снова хотя бы одна из половин содержит ∞-ное мн-во членов из {х_n}. Обозначим ее через [а₂,b₂]. Выберем точку и т.д.

Получим {}-сть сегментов [а_к,b_к] и {}-сть точек {}-сти {х_n}, к=1,2,... {}-сть пo построению является подпослед-стью {}-сти {х_n}.

Сегменты [а_к,b_к] (к=1,2,...) образуют систему влож-х отрезков, причем . По принципу влож-х отрезков -ет единственная точка с, -щая всем отрезкам, , . По построению, . По теореме о пределе промежуточной переменной .ЧТД

Теорему можно сформул-вать иначе: всякая ограниченная {}-сть имеет по крайне мере 1 частичный lim.

4. Определение и существование степени с иррациональным показателем.

Сначала докажем некот. св-ва степени с рац-ым показателем , r-рац-ное число.

Л1. Если а>1, то

Л2. Если а>1 и - рац-ные числа, то .

Л3.

Л4. Пусть - произвольная {}-сть рац-х чисел, сходящаяся к 0; а>1 – любое действ-ное число. Тогда .

Пусть α - произвольное иррац-ное число. Всякое иррац-ное число яв-ся пределом некоторой {}-сти рац-х чисел .

Л5. Если а>0, α -иррац-ое число, то для всякой {}-сти рац-х чисел , сходящейся к α, сх-ся к одному и тому же пределу.

Д-во. 1). Пусть а>1. Сначала возьмём неубывающую {}-сть рац. чисел

По Л2 Т.к. сх-ся, то она ограничена сверху. Пусть . Снова по лемме 2 , т.е. ограничена сверху и потому она имеет предел .

Пусть теперь { }-сть рац-х чисел произвольна и . Рассм-м .

Т.к. , то по Л4. . Тогда , т.е. .

2). Если 0<a<1, то . Только что показано, что любая послед-сть , где имеет один и тот же предел: . Тогда . Лемма доказана.

Опр-е. За значение степени с иррац-м показате-лем α принимает предел, к к-му сх-ся , где - любая {}-сть рац-х чисел, сходящаяся к α.

Степень с иррац-ным показателем обладает свойствами:

; . Действит-но, пусть . Тогда