2 4. Линейные д.У. С пост-ми к-нтами

Рассм-м неодн-е лин-е ур-е , (1) — пост-е д.ч. Будем искать реш-я в виде . Так как , то, подставив и разделив на , получим . (2) - хар-е ур-е для ур-я (1), оно имеет n корней.

Случай 1. Корни хар-го ур-я (2) действ-ны и разл-ны, . Получаем n частных реш-ий. . Покажем, что они составляют фундаментальную систему ур-я (1). составим определитель Вронского

.

(Последний опред-ль есть опред-ль Вандермонда, к-ый при ). Тогда общее реш-е ур-я (1) (3).

Случай 2. Если среди разл-ых корней ур-я (2) им-ся компл-ные, то повторяя приведенные рассуждения получим общ. реш-ие ур-я (1) снова в форме (3), но тогда у будет компл-ной ф-цией действ-й перем-ой х. Чтобы избежать использование комплексных выражений поступают след образом:

Если имеется компл-ый корень , то сопряженное число тоже явл-ся корнем ур-я (2). Паре компл. сопряженных корней соотв-ет пара действ-ых частных реш-ий: , .

Случай 3. Среди корней ур-я (2) им-ся кратные. Пусть k – действ-ый корень кратности r. Этим r одинаковым корням соотв-ют частные решения . Если корень кратности r явл-ся компл-ым , то тоже корень, той же кратности. Этим 2r корням соотв-ют 2r частных решений вида , ,…, ; , ,…, .

Неоднор-ные лин-ые ур-ния с пост-ми коэф-ми. Метод неопред-х коэффициентов

Расс-м ур-ние

, (1), где — постоянные действительные числа.

Т .к.ур-ние (1) яв-ся лин-ым, то его общее реш-ие можем искать методом вариации постоянных. Ур-ние (1) можно интегрировать и другим методом, если ф-ция v(x) имеет спец-ный вид. Если известно общее реш-ие соотв-щего однор-го ур-ния , то для нахожде­ния общего реш-ия ур-ния (1) достаточно найти к-нибудь част. решение уравнения (1). Если v(x) имеет специальный вид, то частное реше­ние можно найти методом неоднор-х коэффициентов.

1. , где — действ-ное число, — многочлен степени m.

   1. Пусть не яв-ся корнем характер-кого ур-ния. Можно показать, что сущ-ет частное решение уравнения (1) вида , где Q_m(х) — многочлен степени m .

Записав Q_m(x) с неопред-ми коэф-ми, подставим Y в ур-ние (1) и найдем эти коэффициенты.

2. Если — корень характер-кого ур-ния кратности r, тогда част. реш-ие ищем в виде .

1. , где и v —действ-ные числа, P_j(х) и R_l(x) – мн-ны степени j и l соотв-но.

Обозн-м m=max{j,l}, k=μ+iv. Если k — корень характер-кого ур-ния кратности r, то част. реш-ие , где Q_m(х) и S_m(х) – мн-ны степени m.

III. , где каждое слагаемое имеет тип II. Интегрируем m неоднор-х ур-ний , ( ). Для ка­ждого из них находим част. решение Y_i(х). Тогда — част-ое реш-е исход-го ур-ния.

25. Производная ф-ции компл.Пер. Условия диф-ти. Понятие аналитич. Ф-ции

П усть ф-ция определена и однозначна на мн-ве Е, z₀ - предельная точка мн-ва Е, . Пусть , - приращением ф-ции в точке z₀.

О1. Если сущ-ет , то этот предел наз-ся производной по мн-ву Е в т. и обознач-ся или , а ф-ия f(z) наз-ся диффер-руемой по мн-ву E в т. z₀.

Пусть ф-я w=f(z) диф-ма в т. z_0, тогда , причем . Тогда (1): 1-й член линеен отн-но ∆z, а 2-й →0 при ∆z→0.

Обратно, если приращение ф-ии w=f(z) в т.z₀, м. представить в виде ∆w=A∆z+ε(z0,∆z)∆z (1), где при ∆z→0, следует, что ф-ия им. произв-ю в т.z₀, т.к. . A=const. Из (1) =>, если дифф-ма в т.z₀, то она непрер-на на ней.

О2. Линейная отн-но часть приращения функции , т.е. произведение наз-ся диффер-лом ф-ции в точке и обозн-ся dw или df(z₀). Приращение аргумента наз-ся дифф-лом аргумента и обозн-ют dz. Т.о., .

Из опр-ия производной и св-в пределов ф.к.п. =>, что правила дифф-ия, распр-ся и на ф.к.п.

с=const;

F – мн-во значений ф-ий f(z).

7) если - обратная ф-ия, то

Требование сущ-я предела отн-но незав-мо от сп-ба стремления ∆z→0 связ-ет действ. и мним. части ф.к.п. особыми усл-ми.

Т. Для того, чтобы ф-ия в т. z₀=x₀+iy₀ была диф-емой, необх. и дост-но, чтобы:

1 ) ее д.часть и(х,у) и мнимая v(x,y) были диф-емыми ф-циями в т.(х₀,у₀),

2) в т.(х₀,у₀) вып-ись усл-ия Коши-Римана (Даламбера-Эйлера): .

Тогда

Д-во: Необх. Пусть ф-ия диф-ма в т.z₀, т.е. вып-ся усл-е ∆w=f′(z₀)∆z+ε(z₀,∆z)∆z (1). Положим , , , . Здесь , при , . Отделим в (1) действ. и мним. части: , .

Из этих формул следует: 1) ф-ии и(х,у) и v(x,y) диф-мы как ф-ии 2-х действ-х переем-х в т.(х₀,у₀);

2) в т.(х₀,у₀), откуда вытекает справедливость условий К-Р.

б ) Дост. Пусть ф-ии и(х,у) и v(x,y) диф-мы в т.(х₀,у₀) и выполнены усл-я К-Р: , , где при , . Кроме того . Тогда ∆w=∆u+i∆v=a(∆x+i∆y)+ib(∆x+i∆y)+(α₁+iβ₁)∆x+(α₂+iβ₂)∆y=(a+ib)∆z+ +((α₁+iβ₁)∆x/∆z+(α₂+iβ₂)∆y/∆z)∆z=A∆z+ε∆z. (2)

Т.к. ,

то при . Из (2) следует, что ф-ия диф-ма в т.z₀. Причем, . •

10