Конспект по фильтрации

а подставив сюда (17.15), окончательно получим требуемое соотношение (17.6). Осталось вывести соотношение (17.9) (вид матрицы M).

Выполним ряд преобразований:

Итак, подставляя в (17.17) выражение для x(k + 1|k) из основных формул фильтра

Калмана,

x(k + 1|k + 1) = x(k + 1|k) + Kk+1 yk+1 − Hk+1x(k + 1|k)

имеем:

xk+1 −x(k + 1|k + 1) + Kk+1 yk+1 −Hk+1x(k + 1|k) = Φ(k + 1|k) xk −x(k|k) + (k + 1|k)wk ;

|{z}

Подставляя сюда вид yk+1 из (17.2), имеем:

т. е. получим соотношение (17.9), ч. т. д.

Отметим некоторые особенности алгоритма интерполяции в закрепл¼нной точке.

1.Алгоритм (17.5) (17.9) обрабатывает измерительную информацию в темпе е¼ поступ ления. Параллельно с алгоритмом интерполяции должны работать по той же изме рительной информации алгоритмы стандартного ФК , формирующие Kk+1, x(k + + 1|k), P (k + 1|k) на текущие моменты времени k = N + 1, N + 2, . . . С помощью

алгоритмов стандартного ФК определяются также значения x(N|N) и P (N|N), явля ющиеся начальными условиями для работы алгоритма интерполяции.

2. В соответношениях (17.5) (17.9) входят выражения

I − Kk+1Hk+1 ,

значения которых уже сформированы на тот же момент времени в стандартном алго ритме ФК = можно сократить объ¼м вычислений.

3.При формировании коэффициента передачи Ke(N|N) не используется матрица P (N|k+ + 1), поэтому соотношение (17.6) можно исключить из алгоритма интерполяции, если не определять качество оценок x(N|k + 1).

4.Из соотношения (17.6) следует, что матрица P (N|k + 1) − P (N|k) отрицательно

определена; это указывает на уменьшение оценок параметров xk по мере роста объ¼ма измерительной информации.

Рассмотрим второй класс задач интерполяции, а именно, дискретную интерполяцию на закрепл¼нном интервале .

Алгоритм (интерполяция на закрепл¼нном интервале). Äàíî:

1.Модели системы измерений (17.1) (17.3)

2.Y0N выборка измерений на фиксированном временном интервале [t0, tN ].

Доказать:

Алгоритм интерполяции значений x(k|N) = E{xk|Y0N } è P (k|N) = cov(xk, xk|Y0N ) ïðè

где начальные значения x(N|N) и P (N|N) и значения x(k|k), P (k|k), x(k +1|k), P (k +1|k) находятся соответственно, при помощи основных формул ФК.

Доказательство. Для вычисления значений x(k|N) и P (k|N) используем свойства услов ных математических ожиданий:

Дисперсия случайной величины X эквивалентна среднему по Y условной дисперсии X плюс дисперсия по Y условного математического ожидания X.

Преобразуем условные математические ожидания, входящие в правые части соотноше ний (17.1), (17.2) и условий (17.3) следует, что любой из случайных векторов {xk+2, . . . , xN , YkN+1} полностью определяется заданием случайных векторов {x0, . . . , xk+1, wk+1, . . . , wN−1, vk+1, . . . , vN }. Кроме того, случайные векторы {x0, . . . , xk, Y0k} не зависят от случайных век торов {wk+1, . . . , wN−1, vk+1, . . . , vN }.

Тогда для любой ограниченной функции ϕ(xk) можно записать:

Выбирая сначала ϕ(xk) = xk, а затем

ϕ(xk) = xk − E(xk|Y0N , xk+1) xk − E(xk|Y0N , xk+1) T

и, используя следствие из теоремы о нормальной корреляции, получаем:

соотношения (17.23) и (17.24).

Наконец, заметим, что в силу соотношений (17.1) и основных формул ФК имеем:

Подставим (17.32) в (17.30), получаем требуемое соотношение (17.25), ч. т. д.

Характерные особенности алгоритма интерполяции на закрепл¼нном интервале .

1.Алгоритм (17.23) (17.25) предназначен для работы в обратном времени от tN ê t0.

Его нельзя использовать в реальном масштабе времени для обработки текущей из мерительной информации, поэтому этот алгоритм полезен для анализа данных после окончания эксперимента.

2.Рассматриваемый алгоритм интерполяции может начать функционировать лишь по

сле определения с помощью рекуррентных алгоритмов фильтрации и экстраполяции начальных x(N|N), P (N|N) и текущих x(k|k), P (k|k), x(k + 1|k), P (k + 1|k), k =

=N − 1, N − 2, . . . , 0 значений.

Âотличие от алгоритмов фильтрации уравнение (17.23) не включает в себя явно данные измерений.

Роль ½измерений играет текущая оценка x(k|k).

3.Аналогично алгоритму интерполяции в закрепл¼нной точке, если нас не интересует качество работы, то расч¼т P (k|N) можно безболезненно исключить (для расч¼та Kb(k|k + 1) эта матрица не нужна).

4.Недостаток наличие обратной матрицы P −1(k + 1|k).

5.Как следует из (17.24), матрице P (k|N) − P (k|k) отрицательно определена. Это

означает, что при нормальном функционировании алгоритма интерполяции привлече ние дополнительной измерительной информации YkN+1 приводит к улучшению оценки x(k|k).

Наконец рассмотрим третий класс задач интерполяции, а именно, дискретную интер поляцию с постоянным запаздыванием .

Алгоритм (интерполяции с постоянным запаздыванием). Äàíî:

1.Модели системы и измерений (17.1) (17.3).

2.Интервал запаздывания измерений tk+N − tk, N = const, k = 0, 1, 2, . . .

Доказать:

Мальцева Н. В. Рекуррентная и адаптивная фильтрация 67

эффициент усиления и матрица M для задачи интерполяции в закрепл¼нной точке) и

интервале) соответственно.

x(k + 1|k), P (k + 1|k), x(k + 1 + N|k + N), P (k + 1 + N|k + N) результаты решения

задач фильтрации и экстраполяции, полученные с помощью основных соотношений ФК. Начальные условия x(0|N), P (0|N).

Доказательство. При вычислении x(k+1+N|k+N) и P (k+1+N|k+N) значение k+1 будем

рассматривать как закрепл¼нную точку. Применим соотношения (17.5) и (17.6), которые определяют вид оценки и е¼ ковариационной матрицы для случая задачи интерполяции в закрепл¼нной точке, заменив в них индекс N на k + 1, а индекс k + 1 на k + 1 + N. Получим:

интерполяции на закрепл¼нном интервале. Из соотношений (17.23) (17.25), определим вид оценки и е¼ ковариационной матрицы для случая интерполяции на закрепл¼нном интерва ле, следует:

Подставляя выражение для x(k + 1|k + N) и P (k + 1|k + N), полученные в (17.40), (17.41), в выражения (17.35) и (17.36), получаем требуемые соотношения (17.33) и (17.34).

Алгоритм интерполяции с постоянным запаздыванием имеет следующие особенности :

1.Необходимо определить начальные условия x(0|N) и P (0|N) с помощью алгоритма ин терполяции с закрепл¼нной точкой t0, поэтому алгоритм интерполяции с постоянным запаздыванием на интервале времени [t0, tN ] не работает.

2.Параллельно с данным алгоритмом интерполяции должны работать рекуррентные алгоритмы фильтрации и экстраполяции, определяющие на любой момент времени x(k|k), P (k|k), x(k + 1|k), P (k + 1|k).

3.Рассмотренный алгоритм интерполяции является рекуррентным в прямом времени и имеет два слагаемых, корректирующих оценки x(k+1|k) и P (k+1|k). Первое корректи

рующее слагаемое определяется невязкой, возникающей за сч¼т использования избы

4.Коэффициент передачи Kb−1(k|k + 1) è Ke(k + 1|k + N) не зависят от матрицы P (k + + 1|k + 1 + N). Поэтому соотношение (17.33) для оценки x(k + 1|k + N + 1) не зависит от соотношения (17.34) для оценки P (k + 1|k + 1 + N) = оценку x(k + 1|k + N + 1) можно находить, не вычисляя P (k + 1|k + 1 + N).

5.Недостатки алгоритма необходимость вычисления Kb−1(k|k + 1).

18 Расч¼т действительной точности линейных фильтров

Получим выражения, позволяющие определить ошибки линейных фильтров при слеже нии за объектом, способным к маневрированию.

Априорная информация о характере движения объекта находит отражение в математи ческой модели исследуемой системы и определяет те расч¼тные внешние условия, в которых предполагается е¼ функционирование. От степени соответствия априорных данных их

фактическому характеру зависят и точность è устойчивость синтезируемых алгорит мов. Однако зачастую априорный характер движения объекта неизвестен, поэтому необхо димо определить чувствительность алгоритма к возможным изменениям реальной ситуа ции. С этой целью введ¼м в рассмотрение понятия расч¼тной и действительной моделей.

Ïîä расч¼тной моделью понимаем модель, отражающую наши априорные представле ния об исследуемой системе. Она в рассмотренном случае имеет вид:

Действительная модель вводится как модель действительных условий функционирова ния фильтра в следующей форме:

(индекс ½д обозначение действительной модели)

Тогда уравнения ФК, построенного на базе расч¼тной модели (18.1) равномерного и пря молинейного движения (РПД) и осуществляющего обработку действительных измерений, имеет вид: