Конспект по фильтрации

1.Построение в текущий момент времени для любого возможного момента ман¼вра объ åêòà tθi квадратичной формы:

2.Принятие решения о наличии ман¼вра объекта на рассматриваемом интервале в со ответствии с правилом

3. Построение оценки 4-х-мерного вектора состояния системы Z в случае принятия ре

шения об отсутствии ман¼вра объекта на рассматриваемом интервале наблюдения по формулам фильтра Калмана.

4. Построение оценки 7-мерного вектора состояния системы в случае принятия решения о наличии ман¼вра объекта на интервале наблюдения по следующей схеме:

5.Построение оценок текущей дистанции до объекта, его курса и скорости по оценке вектора состояния системы.

Повышение эффективности алгоритмов оценивания координат и параметров движения объекта может быть достигнуто за сч¼т использования дополнительной информации о ви де ман¼вра объекта. При этом уч¼т информации о постоянстве скорости объекта и курса объекта при его ман¼вре может быть использован для определения дистанции и элементов движения объекта без маневрирования носителя.

Вектор состояния Z представляется в этом случае в виде:

Zk = Π0, (Vx − Vxc1 )/D0, (Vy − Vyc1 )/D0, Vx/Dθ, Vy/Dθ, tθ .

Элементы движения объекта при постоянстве скорости объекта при его ман¼вре и вы полнении условия

Элементы движения объекта при постоянстве курса объекта при его ман¼вре и выпол нении условия

Kc 6= K1 + πn (n = 0, 1 . . . )

могут быть рассчитаны по формулам:

Π0 = Zk1

Dθ = Vyc1 Zk4 − Vxc1 Zk5 Zk2 Zk5 − Zk3 Zk4

q

Vθ = [Dθ(Zk2 + Zk4 ) + Vxc1 ]2 + [Dθ(Zk3 + Zk5 ) + Vyc1 ]2

Kθ = arctg Dθ · Zk2 + Vxc1 .

Dθ · Zk3 + Vyc1

Ковариационная матрица рассчитывается с помощью известных соотношений (анало гично приведенным ранее при РПД-объекте).

14 Синтез устойчивых алгоритмов фильтрации

Анализируя результаты моделирования процесса фильтрации, в ряде конкретных слу чаев можно обнаружить фактические ошибки оценивания во много раз превышают тео ретические предсказанные , характеризуемые диагональными элементами ковариационной матрицы Pk. Реальная ошибка может неограниченно увеличиваться, даже если теорети ческая ошибка калмановской фильтрации пренебрежимо мала. Это явление неустойчивой работы фильтра называют расходимостью процесса фильтрации. Расходимость вызывает ся такими ошибками, которые не были учтены при выводе уравнений фильтра . Одним из главных причин расходимости являются:

неточности задания процессов динамики и измерения;

линеаризация уравнений модели;

отсутствие полной информации о реальной физической задачи;

разного рода упрощающие предположения;

ошибки округления (особенно влияют на ЭВМ с малой разрядной сеткой).

Для того, чтобы выяснить, каким образом возникает расходимость и как е¼ можно избежать с помощью простой модификации алгоритма фильтрации, рассмотрим простой пример, в котором расходимость возникает в результате неточного задания модели дина мики.

Мальцева Н. В. Рекуррентная и адаптивная фильтрация 44

Основная причина, вызывающая расходимость в фильтре Калмана, состоит в том, что

коэффициент усиления Kk очень быстро стремится к O(k+11 ).

= довольно быстро оценка переста¼т зависеть от новых поступлений и растущая невяз

ка на не¼ не влияет.

= один из возможных путей модификации алгоритма состоит в ограничении снизу êî

эффициента усиления Kk. Например, после L-измерений считаем Kk постоянной величиной для всех будущих измерений.

Рассмотрим подробнее , ÷òî ýòî íàì äà¼ò.

Íàéä¼ì среднее значение фактической ошибки в обоих случаях. Для стандартного ФК из (14.3) имеем:

А тогда смещение в оценке yˆN определяется первым слагаемым в (14.4), поскольку второе слагаемое есть просто взвешенная сумма измеряемых величин. Для модифицированного фильтра имеем:

= При N → ∞ ошибка → 0 и фильтр работает устойчиво.

Заметим, что модифицированный фильтр уже не является оптимальным . Однако и стандартный фильтр в рассматриваемой ситуации не являлся оптимальным, поскольку использовал неточную модель динамики.

Если α = 0, то можно показать, что дисперсия модифицированного фильтра > диспер сии ФК. Однако, если нет оснований считать α = 0, то можно пойти на такое ухудшение качества, являющееся платой за сохранение устойчивости .

3Для ФК с постоянным коэффициентом усиления

xk = xk−1 + α(yk − xk−1)

k

X

xk = α(1 − α)iyk−i

i=0

Вообще, существует несколько простых способов обеспечения устойчивости процесса филь трации. Основная идея этих методов связана с ограничением коэффициента усиления äëÿ

того, чтобы избежать потери чувствительности к измерениям . Условно эти методы можно разбить на 3 группы:

1)ограничение коэффициента передачи фильтра K;

2)ограничение ковариационной матрицы ошибки оценки P ;

3)искусственное увеличение интенсивности шума возмущений Q.

Для каждой группы существует несколько способов достижения поставленной задачи, однако все эти методы характеризуются необходимостью экспериментальной настройки их параметров в зависимости от области и условий применения разрабатываемых алгоритмов.

Существует ещ¼ одна причина возможной расходимости фильтра Калмана реализа ция алгоритма на ЭВМ (микропроцессоре), характеризующейся малоразрядной обработ кой. Расходимость может наступить из-за ошибок округления . Уже отмечалось ранее, что это может привести к тому, что ковариационная матрица Pk становится не положитель но определ¼нной и несимметричной, а фильтр теряет устойчивость. Для предотвращения

данного явления может быть использован метод квадратного корня (Поттера) , который обеспечивает точность вычисления матрицы S (P = SST) такую же, как и P на вдвое

меньшей разрядной сетке ЭВМ. К сожалению, за сч¼т существенного увеличения объ¼мов вычислений.

Рассмотрим более подробно алгоритмы обеспечения устойчивости фильтрации на про стых примерах

Пример 8. Ранее мы уже рассматривали дискретную двумерную линейную систему вида:

ждается постепенным уменьшением коэффициентов усиления Kxn è Kx˙ n . Последнее обсто ятельство означает, что любое новое измерение корректирует вырабатываемую фильтром оценку в меньшей степени, чем предыдущие . В результате постепенно нарастает нечувстви тельность фильтра к новым измерениям. Подобная нечувствительность нечувствительна

только при условии справедливости динамики изменения системы вида (14.5). Если пред положить, что закон движения меняется и, особенно, после продолжительного участка движения по закону вида (14.5), то наиболее ценные в информативном плане текущие из мерения не в состоянии оказывать заметного корректирующего действия на текущую оценку и ошибки оценивания растут = фильтр расходится. Рассмотрим на примере си

стемы (14.5) способы обеспечения устойчивости процесса фильтрации. Напомним ещ¼ раз,

что уравнения ФК, по которым была получена оценка вида (14.6), имеет вид:

Пример 9. В качестве примера искусственного увеличения интенсивности шума возму щений рассмотрим подход, основанный на представлении возможного изменения динамики (ускорения объекта) (½ман¼вр объекта ) в виде случайного процесса wk с характеристиками:

wk N(0, Q) , cov(wk, wj) = Q · δkj ;

Пользуясь соотношениями стандартного ФК для этого случая, получаем фильтр, в дальней шем называемый Q-фильтр. Этот фильтр в отличие от фильтра (14.7) имеет, в частности,

в ковариационном уравнении для матрицы прогноза P (n|n−1) слагаемое kQ kT, обеспечи вающее ограничение коэффициентов фильтрации и выход Q-фильтра на установившийся

режим (K∞ 6= 0):

Наличие ненулевых установившихся значений Kn позволяют Q-фильтру сохранять способ ность корректировки процесса оценки при ман¼вре.

Из (14.9) и (14.10) следует также, что значения Kx∞ è Kx˙ ∞ выбором параметра Q могут быть изменены для достижения требуемой эффективности обработки.

Пример 10. Примером ограничения ковариационной матрицы ошибки оценки P может

служить метод устранения влияния ранее произвед¼нных измерений на текущую оценку вектора состояния пут¼м ½ старения измерений. Сущность ½старения заключается в фор мировании такой расч¼тной дисперсии ошибок измерений, которая является функцией ин тервала времени между моментами измерений t1

íèé t2, возрастающей с увеличением t2 − t1 по экспоненциальному закону,

def

Обозначим в выражении (14.11) S = exp(Δt/τ), можно записать общее выражение рас

ч¼тной дисперсии ошибок для измерения, полученного в i-ый момент времени, при условии его использования в n-ый момент Ri|n â âèäå:

ãäå Ri априорная дисперсия ошибки i-го измерения.

Как следует из (14.12), расч¼тная дисперсия прошлых измерений резко увеличивается, что означает уменьшение влияния этих измерений на текущую оценку.

Можно показать, что уч¼т равенства (14.12) не изменяет рекуррентной структуры ФК вида (14.7), кроме уравнения ковариационной матрицы прогноза P (n|n − 1):

где S скалярный множитель (S > 1), выбор которого меняет ½глубину устаревания информации. В дальнейшем данный тип ФК будем называть S-фильтром.

Введение множителя S в уравнение (14.13) также обеспечивает K∞ 6= 0 и тем самым позволяет оценивать параметры движения маневрирующего объекта.

Расч¼тная точность оценок S-фильтра в установившемся режиме приобретает вид:

Варьируя значение множителя S в соотношениях (14.14), можно получить требуемый коэффициент фильтрации.

Пример 11. И, наконец, примером ограничения коэффициента усиления фильтра K мо жет служить так называемый ½ стационарный ФК, имеющий вид:

(

xˆ(n|n) = xˆ(n|n − 1) + K(yèçì. − Hnxˆ(n|n − 1))

n

(14.15)

xˆ(n|n − 1) = Φn−1xˆ(n − 1|n − 1) ,

где K матрица постоянных коэффициентов фильтрации.

Стационарные фильтры просты в реализации, т. к. не требуют решения ковариацион ных уравнений, и при отсутствии ман¼вра их точность характеризуется ковариационной матрицей вида:

В установившемся режиме стационарный фильтр обеспечивает следующее из (14.16) дисперсии ошибок оценок:

ãäå kx è kx˙ коэффициенты стационарного фильтра.

Варьируя значения kx è kx˙ , можно выбрать необходимые точности оценки.

15 Последовательная обработка дискретных измерений

Эквивалентные формы представления коэффициента усиления и апостериорной корре ляционной матрицы в фильтре Калмана