ЛЕКЦИЯ 5

Тема 1. Алгебраические расширения числовых полей.

Конечные поля, основанные на кольцах многочленов.

1. Как находить неприводимые многочлены.

Первые две теоремы содержат ключевые формулы.

Теорема 1. Многочлен равняется произведению всех нормированных неприводимых многочленов над , степени которых делят m.

Д о к а з а т е л ь с т в о. (i) Пусть  неприводимый над многочлен степени d, где . Случай тривиальный; поэтому предположим, что . Если использовать для построения поля, то в этом поле найдется элемент, для которого является минимальным многочленом, и тогда по свойству (М3) )| . Соответственно теореме 2 , а также . Следовательно, | .

(ii). Наоборот, пусть  неприводимый делитель степени d. Нужно показать, что d|m. Снова предположим, что , так что . Как и в части (i), используем многочлен для построения поля F порядка . Пусть  корень и пусть  примитивный элемент поля F, так что

. (1)

(а все корни неприводимых многочленов над полем GF(p) являются корнями обобщенного многочлена ), то . Возводя обе части равенства (1) в степень , в соответствии с теоремой 5, Л-3 (пусть характеристика поля GF(q) равна p. Тогда для любых элементов и из GF(q) и любого положительного целого числа m справедливо равенство ) и очевидных равенств , приходим к равенству . Следовательно, порядок элемента равный должен делить . Тогда согласно выше приведенной лемме .

Аналогичные рассуждения приводят к более общей теореме.

Теорема 2. Для каждого поля , где  степень простого числа, имеет место равенство

= произведению всех нормированных неприводимых над многочленов, степени которых делят m.

Используем теперь соотношение (2) предыдущей лекции, а именно уравнение и теорему 2 для вычисления неприводимых и минимальных многочленов для двоичного поля, то есть пусть = 2. Будем действовать таким способом.

: По теореме 2

.

Имеется два неприводимых многочлена степени 1, а именно x и x + 1. Минимальными многочленами в поле соответственно являются x и x + 1.

: .

Имеется один неприводимый многочлен степени 2, а именно . Минимальные многочлены элементов поля имеют вид:

Элемент Минимальный многочлен

0 x

1

:

.

Имеется два неприводимых многочлена степени 3, а именно и . Задавая поле корнем уравнения , имеем

Элемент Минимальный многочлен

0 x

1

Приведенные разложения согласуются с теоремой 2. Делителями, например, числа = 3 являются числа 1 и 3, и многочлен раскладывается в произведение двух неприводимых многочленов степени 1 и двух неприводимых многочленов степени 3.

Многочлены и называются взаимными. В общем случае взаимный к многочлену многочлен определяется обратным порядком прохождения коэффициентов: .

Другими словами взаимный к многочлену многочлен определяется как многочлен . Корни взаимного многочлена обратные корням исходного многочлена. Многочлен, взаимный к неприводимому, сам неприводимый.

Таким образом, если  минимальный многочлен элемента , то минимальным многочленом элемента является взаимный к многочлен.

: Мы уже знаем следующие делители многочлена : x, x + 1 и (неприводимые многочлены степеней 1 и 2), и взаимный к нему (неприводимые многочлены степени 4). Выполняя деление находим неприводимый многочлен, который остался, степени 4: , и, таким образом,

.

Задавая поле корнем уравнения , получаем:

Элемент Минимальный многочлен

0 x

1

В соответствии со следствием теоремы 7, Л-3, РПЭК (для любого целого положительного числа m над каждым конечным полем GF(q) существует хотя бы один примитивный элемент) многочлен, который задает поле, всегда может быть выбран примитивным (достаточно выбрать минимальный многочлен примитивного элемента). Однако задача определения, какой из неприводимых многочленов оказывается примитивным, является довольно трудной.

Приведем теперь примеры построения полей .