Нахождение минимальных многочленов.
Пусть
минимальный многочлен элемента
.
В силу свойства М6
.
Поскольку все корни минимального многочлена являются сопряженными с корнем , то минимальный многочлен может быть определен через все свои разные корни в виде
.
В частности, для
F
,
,
, (1)
,
.
Кроме того,
минимальный многочлен элемента 0
равен x.
В (1) многочлен
второй степени имеет лишь два корня,
так как сопряженный элемент
,
а минимальные многочлены определяются
лишь различными (по определению)
сопряженными элементами. Многочлен
имеет инверсную по сравнению с
структуру, так как образован обратными
корнями
,
,
,
.
Среди минимальных многочленов в этом
поле x
и
являются многочленами первой степени
(они же являются неприводимыми
многочленами при построении поля
),
многочлен
второй степени является образующим
для поля F
,
а многочлены
,
и
четвертой степени
образующие для поля F
.
Поэтому при расширении поля говорят о
присоединении
новых корней
в расширении.
Действительно, двучлен
,
например, может быть представлен в виде
.
Из представленных соображений вытекает еще одно свойство минимальных многочленов.
М7. Если i лежит в циклотомическом классе , то
. (2)
Более
того, из теоремы 4, Л-2, РПЭК (Пусть
ненулевые элементы поля
GF(q);
тогда
,
то есть ненулевые элементы поля GF(q)
являются корнями обобщенного многочлена
)
вытекает, что
,
где пробегает все множество представителей классов по модулю .
1 При формировании этой лекции использованы материалы из монографии Р. Блейхута. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки. Под редакцией К. Щ. Зигангирова. М:, Мир, 1986, Стр 105-113.
2)
Запишем
,
где
.
Тогда
.
Число
всегда делится на
.
Последнее слагаемое меньше единицы и,
следовательно, может быть целым только
тогда и только тогда, когда
