4. Поле алгебраических чисел.
Рассмотрим
совокупность
всех
алгебраических чисел над полем
,
т.е. множество корней всех многочленов
из
.
Теорема 3. Совокупность алгебраических чисел над полем является полем.
Д о к а з а т е л ь
с т в о. Достаточно показать, что вместе
с любыми двумя алгебраическими числами
,
совокупность
содержит
+
,
,
, 1/
и что
,
.
Последнее вытекает из того, что
.
Пусть теперь
,
.
Рассмотрим алгебраически порожденное
расширение
.
По предыдущей теореме это расширение
алгебраическое, а потому каждое его
число содержится в
.
В частности, числа
+
,
,
, 1/
, которые принадлежат
,
принадлежат и
.
Следствие.
Множество
всех алгебраических чисел есть поле.
Приведем еще два определения, которые касаются расширений полей.
Определение 5.
Если поле
обладает тем свойством, что всякий
многочлен с коэффициентами из этого
поля раскладывается на линейные
множители, т.е. всякий многочлен имеет
корни в
,
то оно называется алгебраически
замкнутым.
Определение 6.
Наименьшее
алгебраически замкнутое поле, которое
содержит
,
называется замыканием поля
и обозначается
.
Такое расширение для любого поля существует и определено однозначно с точностью до изоморфизма. Например, алгебраическим замыканием поля действительных чисел есть поле комплексных чисел.
В заключение отметим, что для полей алгебраических чисел справедлива
Теорема 4. Поле алгебраических чисел над произвольным числовым полем алгебраически замкнуто.
1) Нормированным называют многочлен, коэффициент при старшем члене которого равен 1 (см. ТГКП, Лек-19).
2)
Линейное пространство, в е к т о р н о
е п р о с т р а н с т в о, над полем K,
аддитивно записанная абелевая группа
E,
в которой определено умножение элементов
на скаляры, т.е. отображение
,
,
,
которое удовлетворяет следующим
аксиомам: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
3) Терм языковое выражение, привлекаемое для обозначения объектов.