Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ЛЕК-1Р.РПЭК.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
16.09.2019
Размер:
1.08 Mб
Скачать

4. Поле алгебраических чисел.

Рассмотрим совокупность всех алгебраических чисел над полем , т.е. множество корней всех многочленов из .

Теорема 3. Совокупность алгебраических чисел над полем является полем.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно показать, что вместе с любыми двумя алгебраическими числами , совокупность содержит + , ,  , 1/ и что , . Последнее вытекает из того, что

.

Пусть теперь , . Рассмотрим алгебраически порожденное расширение . По предыдущей теореме это расширение алгебраическое, а потому каждое его число содержится в . В частности, числа + , ,  , 1/ , которые принадлежат , принадлежат и .

Следствие. Множество всех алгебраических чисел есть поле.

Приведем еще два определения, которые касаются расширений полей.

Определение 5. Если поле обладает тем свойством, что всякий многочлен с коэффициентами из этого поля раскладывается на линейные множители, т.е. всякий многочлен имеет корни в , то оно называется алгебраически замкнутым.

Определение 6. Наименьшее алгебраически замкнутое поле, которое содержит , называется замыканием поля и обозначается .

Такое расширение для любого поля существует и определено однозначно с точностью до изоморфизма. Например, алгебраическим замыканием поля действительных чисел есть поле комплексных чисел.

В заключение отметим, что для полей алгебраических чисел справедлива

Теорема 4. Поле алгебраических чисел над произвольным числовым полем алгебраически замкнуто.

1) Нормированным называют многочлен, коэффициент при старшем члене которого равен 1 (см. ТГКП, Лек-19).

2) Линейное пространство, в е к т о р н о е п р о с т р а н с т в о, над полем K,  аддитивно записанная абелевая группа E, в которой определено умножение элементов на скаляры, т.е. отображение , , , которое удовлетворяет следующим аксиомам: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

3) Терм  языковое выражение, привлекаемое для обозначения объектов.

115

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]