3. Конечные расширения полей.

Из приведенной теоремы вытекает, что числа поля имеют специфическую структуру. Они представляют собой суммы вида

,

где каждый член является произведение элемента поля на элемент , поля . Таким образом, можно сказать, что произвольный элемент поля , где корень неприводимого над многочлена степени n, есть линейная комбинация элементов с коэффициентами из поля . Поскольку сумма элементов и произведение их на число из поля есть снова элементы поля , то можно рассматривать как линейное пространство над полем ²⁾.

Обобщая наши наблюдения, рассмотрим некоторое поле и его подполе . есть линейное пространство над полем . Элементами этого пространства являются числа поля , а операциями  сложение элементов поля и умножение их на числа из поля .

Рассмотрим вопрос о б а з и с е и р а з м е р н о с т и этого линейного пространства. Напомним в связи с этим некоторые определения и факты из теории линейных пространств.

Совокупность чисел из поля называется линейно независимой системой элементов относительно поля , если равенство

, (4)

где принадлежат полю , возможно только при всех . Если же равенство (4) удовлетворяется и тогда, когда хотя бы одно из не равняется нулю, то система элементов называется линейно зависимой относительно поля .

Проиллюстрируем приведенные определения примерами.

Примеры. 3. В поле числа и образуют линейно независимую систему элементов относительно поля Q. Действительно, пусть . Запишем равенство (4) для этого случая: . Покажем, что . Предположим противоположное, т.е., что , ) случай, когда только одно из равняется нулю, невозможен, что видно непосредственно). Тогда имеем , т.е. является рациональным числом, что невозможно.

4. В поле два числа и могут быть линейно зависимой системой элементов относительно поля Q. Действительно, если коэффициенты у этих чисел пропорциональны, например, , то, очевидно, и поэтому справедливое равенство типа (4) , в котором коэффициент при не равняется нулю.

5. В поле система элементов 1, , является линейно независимой относительно поля Q.

Напомним также некоторые свойства линейно зависимых и линейно независимых элементов.

1. Каждая подсистема линейно независимой системы элементов относительно поля оказывается также линейно независимой системой элементов относительно поля .

2. Любая система элементов поля , которое содержит число нуль, линейно зависимая относительно поля .

3. Если система элементов поля линейно зависима относительно поля , то хотя бы один из ее элементов является линейной комбинацией других элементов с коэффициентами из поля .

4. Если хотя бы один из элементов системы поля оказывается линейной комбинацией других элементов этой системы с коэффициентами из поля , то система линейно зависима относительно поля .

Возвратимся теперь к теореме 1. Как уже отмечалось, эта теорема устанавливает структуру расширения поля , где корень неприводимого над многочлена n-й степени. Поле построено так: существует n элементов этого поля таких, что каждый элемент есть линейная комбинация этих элементов с коэффициентами из поля .

Покажем, что совокупность чисел  линейно независимая система элементов относительно поля .

Действительно, запишем равенство вида (4)

,

где . Если это равенство удовлетворяется не при всех , равных нулю, то это значит, что  корень некоторого многочлена с коэффициентами из поля , степень которого не превышает . Но это же это невозможно, так как многочлен степени n является минимальным многочленом числа .

Таким образом, если алгебраическое число n-й степени относительно поля , то элементами расширения являются линейные комбинации элементов линейно независимой относительно системы чисел с коэффициентами из поля .

В общем случае рассмотрим некоторое числовое поле и его расширение ; предположим, что в существует линейно независимая относительно система элементов такая, что каждый элемент представляет собой линейную комбинацию чисел с коэффициентами из поля . Количество элементов этого базиса конечно и равняется n. Такие расширения полей называют конечными. Приведем точное определение введенных понятий.

Определение 4. Расширение поля называется конечным, если в поле существует такая линейно независимая относительно поля система элементов , что любой элемент является линейной комбинацией этих элементов с коэффициентами из поля :

.

Система элементов называется базисом поля относительно поля .

Базис конечного расширения может быть выбран не единственным способом. Однако все базисы поля имеют одно и то же число элементов. Более того: произвольная линейно независимая система из n элементов является базисом. Таким образом, число n является характеристикой самого конечного расширения поля , которая не зависит от выбора базиса. Число n называют степенью расширения над полем и обозначают символом . Понятно, что есть размерность линейного пространства над полем . Поэтому степень конечного расширения над полем равняется максимальному числу элементов поля , которые в состоянии образовать линейно независимую систему.

Примеры: 6. Поле числа вида , где  любые рациональные числа, является расширением поля Q степени 2, потому что существует базис поля относительно поля Q, который состоит из двух элементов. В качестве базиса можно взять два числа 1 и . Можно взять и другие числа , например 1 и 1 + , или вообще два числа и , только бы система этих чисел была линейно независимой относительно Q.

7. Поле является конечным расширением степени 3 поля . Базис этого поля относительно образуют, например, числа 1, , или 1+ , 2  2 , 1+ .

8. Поле C комплексных чисел относительно поля R действительных чисел является расширением степени 2. Базис поля C относительно R образуют, например, числа 1 и .

9. Расширение первой степени над полем совпадает с полем . Проверьте это самостоятельно.

Справедливо и более общее утверждение: каждое расширение можно рассматривать как линейное пространство над полем .

На следующей лекции мы приведем примеры построения конечных расширенных полей.

Важно указать, что далеко не всякое расширение поля оказывается конечным. Так, поле R действительных чисел является расширением поля Q рациональных чисел; но это расширение не является конечным, так как в нем не существует конечного базиса.

Векторное пространство размера n можно построить из кольца многочленов подстановкой в каждый многочлен корня любого неприводимого многочлена степени n из этого же кольца.

Действительно, любой многочлен из при подстановке в него корня неприводимого многочлена может быть представлен в виде

,

где каждый член суммы является произведением элемента поля на элемент , поля , т.е. представляется в виде линейной комбинации степеней 1, ¹, ², . . . , , термы³⁾ , , которые возникают при подстановке в многочлены из кольца корня , заменяются на , так как

,

поскольку  корень многочлена и потому = 0.

Приведенные сведения можно сформулировать в виде теоремы.

Теорема 2. Простое алгебраическое расширение , образованное присоединениям алгебраического относительно числа , является конечным расширением поля . Степень расширения над полем равняется степени числа относительно .

Напомним здесь, что степенью алгебраического числа относительно поля (См. Определение 2 этой лекции) называется степень нормированного (неприводимого) многочлена над полем , который имеет своим корнем, т.е. степень минимального многочлена числа .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, по теореме 1 произвольное число представляется в виде

.

Кроме того, было доказано, что элементы 1, , ², . . , является базисом поля . Итак, является конечным расширением степени n поля .