2. Наименьшее общее кратное.

Определения 5. Целое число, которое делится на каждое из чисел a₁, a₂, . . . , a_n, называется общим кратным этих чисел.

Определения 6. Наименьшее из положительных общих кратных чисел a₁, a₂, . . . , a_n называется наименьшим общим кратным этих чисел и обозначается [a₁, a₂, . . . , a_n], или НОК(a₁, a₂, . . . , a) ли просто НОК.

Выясним процедуру определения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел.

Пусть (а, b) = d, a = da₁ , b = db₁ и, тогда, в соответствии с следствием 1 теоремы 6 (частицы и от деления чисел а и b на их наибольший общий делитель d взаимно простые) имеем (a₁, b₁) = 1. Пусть М  любое общее кратное чисел a и b. Так как М является кратным a, то М = ak, где k  целое. Но М является кратным и b, а это значит, что число

= =

должно быть целым и, соответственно, со следствием 4 теоремы 6 (если (a, b) = 1 и ac делится на b, то с делится на b) k должно делиться на b₁. Итак, k = b₁t, где t  целое, причем для М выходит формула

. (3)

Обратно, очевидно, что М, которое представляется формулой (3) при любом целом t будет общим кратным a и b, и, таким образом, формула (3) дает общий вид всех общих кратных чисел a и b. Наименьшее положительное с этих общих кратных, то есть НОК, получаем при t = 1. Оно будет равняться

. (4)

Теперь формулу (3) можно записать следующим образом:

. (5)

Формулы (5) и (4) приводят к теоремам:

Теорема 8. Совокупность общих кратных двух чисел совпадает с совокупностью кратных их общего наименьшего кратного.

Теорема 9. НСК двух чисел равняется их произведению, разделенному на их общий наибольший делитель.

Сформулируем также без доказательства свойства НOК нескольких чисел.

1) НОК чисел является делителем общего кратного этих чисел;

2) Пусть [a₁, a₂] = m₂, [m₂, a₃] = m₃, . . . , [m_n2, a_n1] = m_n1, [m_n1, a_n] = m_n. Тогда [ ] = m_n.

Приведенные свойства дают возможность свести вопрос нахождения НСК нескольких чисел к вопросу нахождения НОК двух чисел:

[ ] = [. . . [[а₁, а₂], а₃], . . . , a_n].

Используется также другое определение наименьшего общего кратного.

Определения 6. Наименьшим общим кратным целых чисел называют неотрицательное общее кратное этих чисел, на которое делится любое их общее кратное.

1 Евклид  древне-греческий математик. Работал в Александрии в 3 ст. до н. э. Главный трактат Начала (15 книг), в котором содержатся основы аналитической геометрии, теории чисел, общей теории отношений и способы определения площадей и объемов.

15