эконом., май 2012

Теория вероятностей

Первоначальным понятием теории вероятностей является понятие "событие". Оно считается основным, не подлежащим определению. События обозначаются заглавными латинскими буквами.

Для определения вероятностей события сущ-ют различные подходы:

• вер-ть м. рассматриваться в статистическом смысле (как относительная частота появления события при каком-то кол-ве испытаний). Отношение т/п числа т опытов, в которых событие А появилось, к общему числу п проведенных опытов называется частотой события А. При многократном повторении опыта частота события принимает значе­ния, близкие к некоторому числу. Так, испытания, проведенные матема­тиками в XVIII в. с бросанием однородной монеты, показали, что часто­та выпадения герба незначительно отличалась от числа 0,5.

Пример. Простейший опыт — подбрасывают монету. Выпадение герба или цифры, конечно, чисто случайное явление. Но при много­кратном подбрасывании обычной монеты можно заметить, что появление герба происходит примерно в половине случаев. Кто и когда впервые проделал опыт с монетой, неизвестно. Французский естествоиспытатель Ж. Л. Л. Бюффон (1707— 1788) в восемнадцатом столетии 4.040 раз подбрасывал моне­ту — герб выпал 2048 раз. Математик К. Пирсон в начале нынешнего столетия подбрасывал ее 24.000 раз — герб выпал 12.012 раз. Лет 20 назад американские экспериментаторы пов­торили опыт. При 10.000 подбрасываний герб выпал 4.979 раз. Значит, результаты бросаний монеты, хотя каждое из них и яв­ляется случайным событием, при неоднократном повторении подвластны объективному закону.

Пример. Парадокс де Мере. В результате много­кратных наблюдений игры в кости француз де Мере под­метил, что при одновременном бросании трех игральных костей более часто выпадает комбинация, дающая в сумме 11 очков, чем комбинация, дающая в сумме 12 очков, хо­тя — с его точки зрения — эти комбинации были равно­вероятны. Де Мере рассуждал следующим образом: 11 очков можно получить 6 способами 6-4-1, 6-3-2, 5-5-1, 5-4-2, 5-3-3, 4-4-3, и столькими же способами можно получить 12 очков 6-5-1, 6-4-2, 6-3-3, 5-5-2, 5-4-3, 4-4-4, а это означает ра­венство их вероятностей. Ошибка де Мере была указана знаменитым Паскалем, который заметил, что рассматриваемые де Мере исходы в данной задаче не являются равновероятными. Нужно учитывать не только выпадающие очки, но и то, на каких именно костях они выпали.

Комбинации 6-4-1 соответствует один из шести исходов (6,4,1), (6,1,4), (4,6,1), (4,1,6), (1,6,4), (1,4,6), комбинация 5-5-1 выпадает лишь при трех исходах (5,5,1), (5,1,5) и (1,5,5),а комбинация 4-4-4 выпадает лишь при одном-единственном исходе (4,4,4).

Итак. Событию «сумма вы­павших очков равна 11» благоприятствуют 27 исходов, а событию «сумма выпавших очков равна 12» благоприятствуют лишь 25 исходов. Это и объясняет подмеченную де Мере тенденцию к более частому выпадению 11 очков.

• геометрическая вер-ть. Здесь число всевозможных исходов бесконечно.

Пример: вер-ть попадания точки в некоторую область, например, на острове (как отношение площадей). Пример: вер-ть обрыва провода на участке 30-35 км, если известно, что обрыв на 20-70км (как отнош. длин)

• классический подход к определению вер-ти. Вероятностью случайного события А называется отношение числа равновозможных событий, благоприятст­вующих этому событию, к числу всех равновозможных событий. Обозначается вероятность события А: р(А).

Пример. Подбрасывают две игральные кости. Найти вероятность того, что на них в сумме выпадает шесть очков (событие А).

При подбрасывании двух игральных костей общее число равновозможных элементарных исходов равно . Событию А благоприятствуют пары:

Следовательно, искомая вероятность р(А) = .

Пример. 10 друзей. Таня и Ваня хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?

Все могут усесться за стол разными способами (Таня и Ваня, сидя рядом, считаются за 1 чел. и они могу меняться местами). Следовательно, Р = .

Пример. В урне 5 белых и 7 черных шаров. Из урны одновременно вынимают два шара. Какова вероятность того, что оба шара белые (собы­тие А)?

Здесь число элементарных событий n= .

Число случаев, благоприятствующих событию А: m= => Р(А) = .

Пример. На каждой из 7 одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, г, к, и, н, р, с. Найти вероятность того, что на пяти взятых наугад и расположенных в ряд карточках можно будет прочитать слово "книга" (событие А).

Общее число возможных элементарных исходов n=

благоприятствует событию А m =

Поэтому вероятность события равна: Р(А) =

Пример. В соревнованиях по бегу участвуют 20 перворазрядников и 5 мастеров спорта. На стартовую позицию наугад последовательно вы­зываются два участника. Найти вероятность того, что оба участника со­ревнований мастера спорта (событие А).

Здесь число элементарных событий п=

Число случаев, благоприятствующих событию А m =

Следовательно, вероятность равна: P(А) =

Пример. В урне 8 белых и 12 черных шаров. Из урны наугад выни­мают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди них будет 4 белых, а, следовательно, 2 - черных шара.

Р(А) =