4.1 Матричная формулировка основных уравнений мкэ для решения задач статики

б

а

Рис. 25 – Пояснительные иллюстрации к основным уравнениям метода конечных элементов: а – схема нагружения области , ограниченная контуром ; б – составляющие тензора напряжения

Пусть дана область , ограниченная контуром (рис. 25а). В части контура заданы контурные условия по силам, а в части - контурные условия по перемещениям. На тело действуют поверхностное нагружение в части контура и объемное нагружение в области .

Составляющие поверхностных сил , , в направлении осей могут быть выражены:

. (9)

Составляющие объемных сил , , также могут быть выражены:

. (10)

Составляющие перемещения в любой точке тела в направлении оси могут быть представлены как составляющие вектора :

. (11)

Симметричный тензор деформаций в общем случае выглядит следующим образом:

. (12)

Тензор деформации в силу своей симметричности описывают как вектор :

. (13)

В свою очередь симметричный тензор напряжения состоит из компонентов (рис. 25б):

. (14)

Аналогично, тензор напряжения может быть представлен как вектор :

. (15)

Связь между составляющими вектора перемещения и тензора деформации дана в выражениях:

. (16)

В этом случае связь между деформацией и перемещением:

, (17)

где - матрица-оператор:

(18)

Для учета вращения помимо симметричного тензора деформации вводят кососимметричный тензор ротации , причем :

. (19)

Составляющие тензора ротации могут быть представлены в зависимости от перемещения:

. (20)

Связь напряжения и деформации может быть выражена через обобщение закона Гука:

, (21)

где - симметричная матрица, называемая матрицей жесткости материала с размерностью, равной 6.

С учетом свойств симметрии из 36 коэффициентов матрицы только 21 различны. Для однородного изотропного тела симметричная матрица жесткости может быть выражена с помощью 9 различных коэффициентов матрицы через модуль Юнга и коэффициент Пуассона :

. (22)

Для вычисления напряжений, деформаций, перемещений учитывают условия:

1) составляющие тензора деформации не являются независимыми, а удовлетворяют условиям совместности деформаций;

2) условие равновесия внешних и внутренних сил выражают следующим образом:

. (23)

В матричной форме условие равновесия сил выглядит так:

, (24)

где - матрица-оператор:

. (25)

Приведенных уравнений достаточно для прояснения общих принципов решения статических задач методом МКЭ в прямой формулировке уравнений [46, 50].