4.3 Формирование уравнений движения и описание собственных форм и частот конструкции в методе конечных элементов

В отличие от статических расчетов, в которых внешние воздействия и все остальные компоненты напряженно-деформированного состояния не зависят от времени, в динамическом расчете внешние воздействия являются функциями времени. Наряду с основными параметрами, необходимыми для описания статического поведения системы, в динамике время является усложняющим расчет параметром.

В задачах движения деформируемого твердого тела широкое применение находят уравнения Лагранжа II рода для систем с неконсервативными силами, имеющие вид [50]:

, (27)

где - кинетическая энергия системы; - -ая обобщенная координата; - -ая обобщенная сила.

Обобщенная сила может быть представлена в виде:

, (28)

где - активная обобщенная сила; - диссипативная обобщенная сила.

Активная сила может быть выражена в форме:

, (29)

где - внешняя сила; - внутренняя сила.

Внешняя сила может быть представлены в виде суммы консервативных и неконсервативных внешних сил:

, (30)

где - консервативная внешняя сила; - неконсервативная внешняя сила.

Тогда уравнения Лагранжа (27) принимают вид:

, (31)

где - кинетическая энергия системы; - внутренняя сила; - консервативная внешняя сила; - неконсервативная внешняя сила; - диссипативная обобщенная сила.

Кинетическая энергия конечного элемента может быть записана так:

, (32)

где - матрица массы; - вектор узловых скоростей.

Вектор узловых диссипативных сил выражают с помощью матрицы демпфирования :

. (33)

Имеем уравнение:

. (34)

При решении нелинейных динамических задач часто приходится проводить расчеты в приращениях. В этом случае задача описывается следующим образом. Предполагается, что некоторое тело в момент времени находится в состоянии динамического равновесия I. Этому состоянию соответствуют обобщенные перемещения . Вследствие воздействий тело переходит в состоянии равновесия II. Обобщенные координаты получают при этом приращении . Требуется получить уравнения, описывающие движения из состояния I в состояние II. Тогда для состояния I имеем [46]:

. (35)

Для состояния II:

. (36)

Вычитая (36) из (35) получается:

. (37)

Введем обозначения:

(38)

После ряда преобразований (38) уравнение приводят к виду:

. (39)

Уравнение (39) позволяет исследовать движение геометрически и физически нелинейных конструкций в приращениях. Как частные случаи могут быть получены уравнения для различных задач статики и динамики конструкций, что позволяет обеспечить комплексное решение задач прочности, устойчивости и динамики конструкций. [46]

Уравнения колебаний упругой подсистемы под действием упругих и демпфирующих усилий от соединительных элементов упрощенно представляют на основе уравнений типа (39):

. (40)

где – матрица масс;

– матрица демпфирования;

– матрица упругости;

– внешнее силовое воздействие.

Решение уравнения колебаний в силу свойственной им жесткости и значительной размерности требует больших вычислительных затрат. Поэтому для снижения этих эффектов его представляют в нормальных координатах с учетом ограниченного числа форм.

Собственные частоты и формы колебания упругого тела определяются из уравнения свободных колебаний без вязкого сопротивления:

. (41)

Квадратуры собственных частот определяются из характеристического уравнения:

. (42)

Собственные векторы, соответствующие заданной собственной частоте находят из однородной системы уравнений:

, (43)

где .

Каждой собственной частоте соответствует вектор-столбец собственных форм колебаний , а также вектор перемещения . По столбцам из собственных форм колебаний формируют квадратную модальную матрицу:

. (44)

Модальная матрица нормируется по кинетической энергии:

, (45)

где - единичная матрица.

Следует ввести новые координаты в форме:

. (46)

В этом случае система уравнений (40) разделяется на уравнений вида:

, (47)

где - коэффициент демпфирования по j-ой форме колебаний; .

Это уравнение справедливо в предположении, что внутреннее демпфирование упругой системы не вызывает взаимодействия собственных форм ее колебаний без демпфирования, матрица демпфирования выражается через , а сосредоточенное внешнее демпфирование при колебаниях упругой системы учитывается характеристиками соединительных элементов.

Начальные условия могут быть выражены:

, . (48)

Векторы физических перемещений и скоростей, входящие в качестве аргумента функций усилий, определяются через обобщенные координаты и их производные с помощью выражения (46).

Таким образом, представление уравнений дискретной модели упругой подсистемы в нормальных координатах дает возможность разделения уравнений (40) относительно старших производных, т.е. представления системы дифференциальных уравнений в форме Коши. [36]