11,3 Графические и аналитические способы решения обратной однократной круговой засечки.
Проведем окружность через три точки A, B и P. Из школьного курса геометрии известно, что угол с вершиной на окружности измеряется половиной дуги, на которую он опирается. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, измеряется всей дугой, следовательно, он будет равен 2β (рис.2.10).
Рис.2.10
Расстояние
b между пунктами A и B считается известным,
и из прямоугольного треугольника FCB
можно найти радиус R окружности:
(2.41)
Уравнение окружности имеет вид:
+
(2.42)
где
и 
-
координаты центра окружности. Их можно
вычислить, решив либо прямую угловую,
либо линейную засечку с пунктов A и B на
точку C. В уравнении (2.42) X и Y - координаты
любой точки окружности, в том числе и
точки P, но для нахождения двух координат
точки P одного такого уравнения
недостаточно.
Обратной угловой засечкой называют способ определения координат точки P по двум углам β1 и β2, измеренным на определяемой точке P между направлениями на три пункта с известными координатами A, B, C (рис.2.11).
Графическое решение. Приведем способ Болотова графического решения обратной угловой засечки. На листе прозрачной бумаги (кальки) нужно построить углы β1 и β2 с общей вершиной P; затем наложить кальку на чертеж и, перемещая ее, добиться, чтобы направления углов на кальке проходили через пункты A, B, C на чертеже; переколоть точку P с кальки на чертеж.
Исходные данные: ХаУа, ХbУb, ХcУc
Измеряемые элементы: β1, β2.
Неизвестные элементы: X, Y.
Рис.2.11
Аналитическое решение. Аналитическое решение обратной угловой засечки предусматривает ее разложение на более простые задачи, например, на 2 прямых угловых засечки и одну линейную, или на 3 линейных засечки и т.д. Известно более 10-ти способов аналитического решения, но мы рассмотрим только один - через последовательное решение трех линейных засечек.
Предположим,
что положение точки P известно, и проведем
две окружности: одну радиусом R1
через точки A, B и P и другую радиусом R2
через точки B, C и P (рис.2.11). Радиусы этих
окружностей получим по формуле (2.41):
;
(2.43)
Если координаты центров окружностей - точек O1 и O2 будут известны, то координаты точки P можно определить по формулам линейной засечки: из точки O1 по расстоянию R1 и из точки O2 - по расстоянию R2.
Координаты центра O1 можно найти по формулам линейной засечки из точек A и B по расстояниям R1, причем из двух решений нужно взять то, которое соответствует величине угла β1: если β1<90o, то точка O1 находится справа от линии AB, если β1>90o, то точка O1 находится слева от линии AB.
Координаты центра O2 находятся по формулам линейной засечки из точек B и C по расстояниям R2, и одно решение из двух возможных выбирается по тому же правилу: если β2<90o, то точка O2 находится справа от линии BC, если β2>90o, то точка O2 находится слева от линии BC.
Задача не имеет решения, если все четыре точки A, B, C и P находятся на одной окружности, так как обе окружности сливаются в одну, и точек их пересечения не существует.