Операции над идеалами кольца

Рассмотрим некоторые элементарные операции над идеалами кольца . Пусть и два произвольных идеала кольца .

Теорема. Пересечение идеалов и кольца является идеалом этого кольца.

Доказательство. Пересечение идеалов является подгруппой аддитивной группы кольца . Кроме того, для любых элементов и произведение и содержится в идеалах и и, следовательно, содержится и в их пересечении . Следовательно, пересечение идеалов является идеалом кольца .

Замечание. 1. Можно показать, что операция пересечения идеалов ассоциативна и коммутативна.

2. Рассмотренная теорема легко распространяется на любое конечное или счетное число идеалов.

Пусть и – некоторые не пустые подмножества кольца .

Определение. Множество всех элементов вида , где называется суммой подмножеств и и обозначается символом :

. (3.66)

Если подмножество состоит только из одного элемента , то сумма обозначается .

Определение. Произведением подмножеств и называется множество всех элементов вида:

, (3.67)

где – некоторое натуральное число, .

Если подмножество состоит только из одного элемента , то произведение обозначают символом . Это произведение состоит из всех элементов вида .

Замечание. Определенная таким образом операция умножения подмножеств кольца ассоциативна. Если кольцо коммутативное, то операция умножения подмножеств также будет коммутативной.

Пусть – подмножества кольца , тогда их произведение

, (3.68)

состоит из всех сумм произведений вида , где .

Применим введение операции сложения и умножения подмножеств кольца к его идеалам .

Теорема. Сумма идеалов и кольца является идеалом этого кольца.

Доказательство. Пусть , тогда сумма любых двух элементов и множества принадлежит к , поскольку и элемент , противоположный произвольного выбранному элементу , также принадлежит к , так как . Следовательно, является подгруппой аддитивной группы кольца . Кроме того, для любых элементов и любого .

Теорема. Произведение идеалов и кольца также является идеалом кольца .

Доказательство. Действительно, сумма любых двух элементов множества является, очевидно, элементом этого же множества, а элемент – противоположный произвольно выбранному элементу , принадлежит к . Кроме того для любых и .

Таким образом, в множестве идеалов кольца выполнимы операции сложения и умножения. Операция сложения идеалов – ассоциативна и коммутативна, а операция умножения – ассоциативна. Если кольцо – коммутативное, то операция умножения идеалов также коммутативна.

Теорема. Операции сложения и умножения идеалов кольца связаны дистрибутивными законами

.

Справедливость этого утверждения очевидна.

Теорема. Ядро гомоморфизма колец ,является идеалом в кольце кольца .

Доказательство. 1. Пусть G группа в K , а группа в . Тогда используя теорему о ядре гомоморфизма групп получаем, что если , то – подгруппа в и, следовательно, т.е. условие (3.39) теоремы выполнено.

Пусть для выполнения условия (3.40) необходимо доказать, что . Покажем, что . Действительно, из свойств гомоморфизма колец имеем:

,

.