Лекция 16 Гомоморфизмы и идеалы колец
Пусть
– кольцо целых чисел, а
– кольцо классов вычетов по модулю
.
Рассмотрим отображение
, (1)
определяемое как
, (2)
где
,
– класс вычетов по
,
в который попадает число
.
Таких
классов ровно
и отображение
– сюрьективно.
Пусть
,
где
,
тогда в силу определенных в кольце
операций
сложения
и умножения
имеем:
, (3)
, (4)
что
позволяет говорить о гомоморфизме колец
и
.
Обобщим этот факт в виде следующего определения.
Определение. Пусть
и
два кольца. Отображение
называется гомоморфизмом,
если оно сохраняет операции
, (5)
, (6)
где
.
Чтобы указать, что
– гомоморфное
отображение кольца
на кольцо
пишут
или Hom:
.
Пример. Пусть
– кольцо
целых чисел,
– кольцо классов вычетов по модулю 2.
Кольцо – содержит два класса:
класс
четных чисел
–
класс
нечетных чисел
.
Отображениe
,
,
которое каждому четному числу ставит в соответствие класс , а каждому нечетному – класс , является гомоморфизмом.
Рассмотрим основные свойства гомоморфных отображений колец, которые сформулируем в виде следующей теоремы.
Теорема. Если гомоморфизм кольца в кольцо , то:
1.
(нуль кольца K отображается в нуль кольца
);
2.
;
3.
есть подкольцо кольца
:
4.
Если для
операции умножения в
,
то
,
а если для
,
то
.
Доказательство.
Если
.
Тогда
,
где
.
Отсюда
следует, что
– есть нулевой элемент кольца
.
Докажем, что для
:
.
Действительно,
.
С
другой стороны,
.
3. Докажем, что – подкольцо кольца .
Утверждение будет доказано, если мы покажем, что:
а. – группа по сложению,
б. – полугруппа по умножению.
А) Пусть
,
т.е.
-
два
произвольных элемента
,
тогда
,
следовательно – подгруппа в .
Б.) Покажем,
что если
и
,
то и их произведение
.
Действительно,
если
и
,
то
,
где
.
Тогда
.
4. Докажем, что
.
Действительно,
если
и
.
С другой стороны, т.к. – гомоморфизм, то
.
Замечание. Если – гомоморфизм колец, то для любого фиксированного
.
Действительно,
пусть
,
тогда
.
Вместе
с тем,
выражение
не следует
рассматривать как настоящее произведение
двух элементов кольца, потому что в
общем случае
не является элементом кольца, а
представляет собой нечто внешнее –
целое число.
Однако,
если кольцо обладает единицей 1, то
можно рассматривать как настоящее
произведение, а именно
.
Аналогично морфизмам групп, рассматриваются морфизмы колец, при этом гомоморфизм называется:
– мономорфизмом, если отображение – инъективно:
,
причем
,
т.е. образы различных элементов различны.
– эпиморфизмом, если – сюрьективно:
каждый
элемент
имеет прообраз
т.е.
;
– изоморфизмом, если – биективно.
Факт
изоморфизма колец кратко записывается
в виде
.
Пример. Пусть
– кольцо целых чисел, а
– кольцо классов вычетов по модулю
.
Рассмотрим отображение
,
такое, что
.
1. Отображение является гомоморфизмом, т.к. сохраняет групповые операции:
Для классов вычетов эти операции имеют вид:
2. Отображение является эпиморфизмом,
т.е.
–
сюрьективно
для любого
имеется прообраз
,
такой, что
,
т.е.
при делении на
число
дает положительный остаток равный
;
– не
инъективно,
т.к. если, как и ранее
,
то
имеют один и тот же образ
.