- •Лекция 1 Математическое программирование
- •Классификация методов математического программирования.
- •Лекция 2 Линейное программирование.
- •Задачи о наилучшем использовании ресурсов.
- •Задачи о выборе оптимальных технологий.
- •Задача о диете.
- •Транспортная задача.
- •Лекция 3 Формы записи задач линейного программирования
- •Геометрическая интерпретация и графические решения задач линейного программирования.
- •Лекция 4 Понятие двойственности. Построение двойственных задач.
- •1.Понятие двойственности для симметричных задач линейного программирования.
- •2.Несимметричные двойственные задачи
- •Теоремы:
Лекция 3 Формы записи задач линейного программирования
Общая задача линейного программирования
Max (min)Z= c j x j
a ij xj <=bi, где i=1,..,m1
a ij xj = bi, где i= m1+1,..,m2
a ij xj => bi , где i= m2+1,..,m
xj =>0, j=1,…,n 1
xj ,где j= n1+1,…,n.
Симметричная форма записи
Max Z= c j x j
a ij xj <=bi ,где i=1,..,m1
Min Z= c j x j
a ij xj =>b I
Каноническая форма
Max Z c j x j
a ij xj = b I
Матричная и векторная формы
C=[c1,c2,..,cn ]
A=
X=
A0=
Max Z=[c1c2…c n][x1x2…x n]T
, =
Max Z=CX
AX=A0
A 1=
A2= , An =
Max Z=cx (скалярное произведение)
С = (c1,c2…,c n)
X = (x1,x2..,x n)
При необходимости задачу минимизации можно заменить задачей на максимум и наоборот.
Min f(x)=-max(-f(x))
Пример: магазин реализует 3 вида продукции p1,p2,p3.Для того используют 2 вида ограниченных ресурсов. Полезная площадь помещений 450 квадратных метра и рабочее время работников 600 чел/часов. Товарооборот должен быть не менее 240000руб. Необходимо разработать план товарооборота, доставляющий максимальную прибыль.
ресурсы |
Затраты ресурсов |
объем |
||
|
Р1 |
Р2 |
Р3 |
|
ПП |
1,5 |
2 |
3 |
450 |
РВ |
3 |
2 |
1,5 |
600 |
прибыль |
50 |
60 |
70 |
|
Х-это количество продукции.
Max Z=50x1+65x2+70x3
1,5x1+2x2+3x3<=450
3x1+2x2+1,5x3<=600
x1+x2+x3<=240
задача может быть решена в каноническом виде. Введем дополнительные коэффициенты х 4,х5,х6.первые два, из которых прибавили к левым частям первых двух неравенств. Дополнительные переменные в целевую функцию включаются с коэффициентом равным 0.
Геометрическая интерпретация и графические решения задач линейного программирования.
Геометрическая интерпретация экономических задач дает возможность наглядно представить их структуру, выявить особенности и исследовать даже смежные свойства.
Задачи линейного программирования с двумя переменными может решаться группами. Однако еще в трехмерном пространстве такое решение усложняется.
1)область допустимых решений – выпуклый многоугольник
2)неограниченная выпуклая область многоугольная
3)одна точка
4)линия
5)луч
6)решение на отрезке
7)пустое множество
Пусть область допустимых решений не пустое множество , например, некий многоугольник. Выберем произвольное значение функции Z=Z0 следовательно Z0=c1x1+c2x2.
В точках N и M целевая функция сохранит постоянное значение Z. Считая Z параметром , получим уравнение семейства параллельных прямых, называемых линиями уравнения целевой функции(линиями постоянного значения).Когда направление уменьшается или увеличивается, то целевая функция находится с помощью частных производных. Частные производные показывают скорость увеличения функции вдоль заданной оси следовательно,c1 и c2 скорость увеличения функции Z вдоль Ox1 и Ox2. c – это вектор, вектор градиент показывает направление наискорейшего увеличения целевой функции.
Порядок графического решения задач:
1)с учетом системы ограничений строится область допустимых значений.
2)строим вектор с
3)проводим произвольную линию уровню Z=Z0
4)при решении задач на max перемещая линию уровня Z=Z0 в направлении вектора с так, чтобы она касалась области дополнительных решений в ее крайнем положении (А4 – максимальное значение). при решении на min –в антиградиентном направлении.(А1).
5)оптимальный план х* и экстремальное значение целевой функции Zx*, где х–*это набор значений.
А) оптимальный план здесь единственный, линия уровня и область допустимых решений в разрешенных положениях имеют одну точку.
Б) бесконечное множество
В) Z стремится к бесконечности
Г) точка,Z как max так и min
Д) пустое множество
Пример задачи: цех выпускает 2 вида продукции, используя 2 вида полуфабрикат. Продукция используется при комплектовании изделий, при этом на каждую единицу продукции первого вида требуется не более двух единиц продукции второго вида. Нормой расхода полуфабриката каждого вида на единицу продукции, общий объем полуфабрикатов и прибыль от единицы каждой продукции представлены в таблице:
полуфабрикаты |
П1 |
П2 |
Объем полуфабрикат |
I |
1 |
2 |
800 |
II |
6 |
2 |
2400 |
прибыль |
10 |
35 |
|
Нужно найти оптимальный план max прибыли.
Max Z=10x1+35x2
X1+2x2<=800
6x1+2x2<=2400
X1=>0
X2=>0
2x1=>x2
Решение:
X1+2x2=800
6x1+2x2=2400
X1=0
X2=0
2x1=x2
Множество планов, удовлетворяющих в системе ограничений задач линейного программирования, представляет собой пересечение конечного числа полупространства и поэтому является выпуклой.
Теорема: множество планов задач линейного программирования выпукло.
Графическим методом можно решить задачу линейного программирования с количеством n- переменных больше двух, если в ее канонической записи число неизвестных n и число линейно независимых уравнений m связаны соотношением n-m<=2, в этом случае каноническую форму задачи преобразуем в симметричную ,которая будет содержать не более 2 переменных. Решаем задачу графически, находим 2 компонента оптимального плана , подставляя их в ограничение задачи, определяем остальные компоненты.
Пример: Двум погрузчикам разной мощности за 24часа нужно погрузить на первой площадке=230 тонн, на второй=168тонн. Первый погрузчик на первой площадке может погрузить 10тонн в час, на второй 12тонн в час. Второй погрузчик на каждой площадке по 13 тонн в час. Стоимость работ, связанных с погрузкой 1тонна первым погрузчиком на первой площадке 8 условных единиц. На второй площадке 7 условных единиц. Вторым погрузчиком на первой площадке 12 условных единиц, на второй площадке 13 условных единиц.
Решение: Необходимо составить план работы, т.е. найти какой объем работ должен выполнять каждый погрузчик на каждой площадке, чтобы стоимость всех работ по погрузке была минимальной. Причем по техническим причинам первый погрузчик на второй площадке должен работать не более 16 часов.
|
П1 |
П2 |
t |
||
Iпогрузчик |
10 |
8 |
12 |
7 |
24 |
IIпогрузчик |
13 |
12 |
13 |
13 |
24 |
задание |
230 |
168 |
|
Min Z=8x11+7x12+12x21+13x22
X11+x21=230
X12+x22=168
X11 X12 x21 x22 >0
X21=230 – x11
X22=168 - x12
Min Z=8x11+7x12+12(230 – x11)+13(168 - x12)= 8x11+7x12+2760-12x11+2184-13x12=4944-x11-6x12
6x11+5x12<=1440
X11+x12=>86
398-x11 - x12 <=312
-x 11-x12<=86
X11+x12=>86
X11<=230
X12<=168
Min Z=4944-(9x11+6x21)
6x11+5x12=1440
X11=240-
X12=86- x11
X11=100
X12=168
X21=130
X22=0
Min Z=400+1008=1408
X11=4944-1408=3536