1. Второй замечательный предел, число е

Рассмотрим последовательность . Вычислим a₁=2, , ,… . Можно доказать, что последовательность является возрастающей и ограниченной сверху, следовательно, имеет предел (по теореме о сходимости монотонной ограниченной последовательности). Обозначим предел буквой е.

Определение 1. Числом e называется предел последовательности .

Известно, что число e является иррациональным числом и e=2,718281828459045…

Можно доказать также, что . Этот предел и называется вторым замечательным пределом. Обратим внимание, что переменная x принимает значения произвольного знака, следовательно, и .

Замечание 1. Второй замечательный предел широко используется при вычислении пределов для раскрытия неопределенностей вида (1^).

Замечание 2. Второй замечательный предел часто используется в другой форме. Обозначим 1/x=y, тогда x=1/y (x  y0). Следовательно, .

Известно, что логарифмическая функция y=log_ax является обратной к показательной функции y=a^x.

Определение 2. Натуральным логарифмом (логарифмической функцией с основанием e) называется функция, обратная к показательной функции y=е^x и обозначается y=lnx.

Напомним основные свойства функции y=lnx:

1. область определения функции  промежуток (0;+);

2. множество значений функции  вся числовая прямая (-;+);

3. функция lnx возрастает на (0;+);

4. функция lnx непрерывна в любой точке x(0;+);

5. , .

2. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение 1. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x=x₀, если .

Можно доказать, что любая элементарная функция непрерывна в любой точке своей области определения. Напомним, что функция называется элементарной, если она может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа операций сложения, умножения, деления и композиции функций. К основным элементарным функциям обычно относят степенные, показательные, логарифмические, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Определение 2. Функция y=f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

3. Производная и её геометрический смысл

Очень многие задачи естествознания (математики, физики, химии, биологии и других наук) приводят к необходимости вычисления для заданной функции пределов специального вида, которые характеризуют скорость изменения значений функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Пусть Разность называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке x₀ и обозначается x. Итак, . Следовательно, .

Приращением функции f в точке x_0, соответствующим приращению x, называется разность и обозначается или просто f. При фиксированном значении x₀ приращение функции f есть функция от x.

Определение 1. Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Производной функции f в точке x₀ называется предел , если он существует и конечен.

Обозначения: , , , .

Заметим, что производная функции в точке – это число.

Выясним геометрический смысл производной функции f в точке x₀. Прямая ММ₀, проходящая через точки М₀(x₀; f(x₀)) , М(x; f(x)) при , называется секущей графика. Положение секущей определяется точкой М₀ и угловым коэффициентом секущей . Если , то точка М, перемещаясь по графику, приближается к точке М₀. Возможно получится так, что секущая будет приближаться к некоторому определенному положению М₀N.

Определение 2. Если существует предельное положение секущей ММ₀ при , т.е. существует , то прямая, проходящая через точку М₀ и имеющая угловой коэффициент k₀, называется касательной к графику функции f в точке М₀(x₀; f(x₀)) .

Если существует , то существует , а это и означает, по определению, что существует касательная к графику функции f в точке М₀ и ее угловой коэффициент .

Итак, геометрический смысл производной функции f в точке x₀ заключается в том, что значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции f , проведенной в точке М₀(x₀; f(x₀)) . Зная координаты точки М₀ и угловой коэффициент, получаем уравнение этой касательной: .