Лекция 15 Тема 15. Степенные ряды

ПЛАН

1. Степенной ряд и его область сходимости.

2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена.

3. Разложение в ряд Маклорена функций y=e^x, y=ln(x+1), y=(1+x)ⁿ.

4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов.

1. Степенной ряд и его область сходимости

Определение 1. Функциональным рядом называется формальное выражение , в котором знаком + соединены функции одной и той же переменной.

Функциональный ряд будем также записывать символом .

Примеры.   или .

Определение 2. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

,

где коэффициенты действительные числа.

Отметим, что любая частичная сумма степенного ряда есть многочлен.

Определение 3. Областью сходимости степенного ряда называется множество тех и только тех точек x₀R, для которых соответствующий числовой ряд сходится.

Любой степенной ряд сходится в точке x=0.

Теорема Абеля. Если степенной ряд сходится в некоторой точке , то он сходится, и притом абсолютно, для любого xR такого, что (без доказательства).

Теорема Абеля помогает описать, какой вид может иметь область сходимости степенного ряда. Логически возможны 3 случая:

1. ряд сходится только в точке x=0, например ряд ;

2. ряд сходится в каждой точке xR, например ряд ;

3. существует точка , в которой ряд сходится, и существует точка , в которой ряд расходится.

В третьем случае можно доказать: существует такое положительное число R, называемое радиусом сходимости степенного ряда, что:

1. для любого xR такого, что , ряд абсолютно сходится;

2. для любого xR такого, что , ряд расходится.

Определение 4. Интервалом сходимости степенного ряда называется интервал , где R - радиус сходимости этого ряда.

Замечание. В концах интервала сходимости степенной ряд может как сходиться, так и расходиться.

Задача 1. Найти область сходимости степенного ряда .

Решение. Применим признак Даламбера. Данный ряд будет абсолютно сходиться, если и расходиться, если .

Имеем: . Следовательно, ряд абсолютно сходится, если x<1, т.е. на интервале (-1;1).

Исследуем сходимость данного ряда в концах интервала сходимости.

Если x=1, то получаем числовой ряд , который расходится, как гармонический ряд.

Если x=-1, то получаем знакочередующийся ряд , который сходится по теореме Лейбница, но условно, так как расходится ряд из модулей.

Ответ. Область сходимости ряда - промежуток [-1;1).

Сумма степенного ряда есть функция, определенная на интервале сходимости степенного ряда. Обозначим эту функцию S(x).

Пусть - радиус сходимости ряда . Тогда:

1. сумма степенного ряда непрерывна на интервале ;

2. степенной ряд можно почленно дифференцировать, т.е.

если , то для любого ;

3. степенной ряд можно почленно интегрировать, т.е. для любого отрезка , лежащего в интервале сходимости , имеет место равенство:

2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена

Нахождение суммы S(x) данного степенного ряда называется суммированием степенного ряда.

Нахождение для данной функции f(x) степенного ряда , сумма которого есть функция f(x), называется разложением функции f(x) в степенной ряд.

Теорема 1. Если функция f(x) разлагается в степенной ряд, то это разложение единственно.

Доказательство. Пусть в некотором интервале функция f(x) является суммой степенного ряда , т.е.

.

Дифференцируем почленно степенной ряд:

.

Дифференцируем почленно полученный степенной ряд:

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Следовательно, , , , … , , … .

Итак, для каждого nN коэффициенты ряда удовлетворяют условию

.

Таким образом, если функция разлагается на некотором интервале в степенной ряд, то это возможно единственным способом, именно:

.

Теорема доказана.

Из теоремы ясно, что разложить в степенной ряд в окрестности точки x=0 можно только функцию, имеющую производную любого порядка nN.

Определение 1. Пусть функция f(x) имеет в точке x=0 производные любого порядка. Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной ряд .

Замечание. Подчеркнем, что теорема 1 является только необходимым условием разложимости функции в степенной ряд. Существуют функции, которые не являются суммами своих рядов Маклорена.

Теорема 2. Пусть функция f(x) имеет производные любого порядка на интервале и все ее производные ограничены в совокупности, т.е. существует положительное число M>0 такое, что для каждого натурального числа nN и для каждого выполняется условие .

Тогда сумма ряда Маклорена функции f(x) на интервале есть функция f(x) (без доказательства).

Замечание. На практике применяется несколько способов разложения функции в степенной ряд:

1. для функции f записать ряд Маклорена и доказать его сходимость к функции f ;

2. используя известные разложения и применяя линейные операции над рядами и способ замены переменной;

3. используя известные разложения и операции почленного интегрирования и почленного дифференцирования степенных рядов.

3. Разложение в ряд Маклорена функций y=e^x, y=ln(x+1), y=(1+x)ⁿ.

, где xR.

Заметим, что для любого nN и для любого выполняется неравенство , следовательно, по теореме 2, на любом интервале (а, значит, на всей числовой прямой) функция e^x равна сумме своего ряда Маклорена.

, где x(-1;1] .

На интервале (-1;1) удобно применить известное разложение и применить теорему о почленном интегрировании степенного ряда: . Итак, для любого выполняется .

Можно доказать также, что ряд в точке x=1 имеет сумму ln 2.

, где x(-1;1) .

Последний ряд называется биномиальным рядом. Известно, что этот ряд сходится в точке при , а в точке абсолютно при .

Составим ряд Маклорена функции y=(1+x)^ :

y=(1+x)-1	y(0)=
y=(-1)(1+x)-2	y(0)=(-1)
y=(-1)(-2)(1+x)-3	y(0)=(-1)(-2)
…	…
y(n)=(-1)(-2)…(-n+1)(1+x)-n	y(n)(0)=(-1)(-2)…(-n+1)
…	…

Можно доказать, что ряд 1+ имеет суммой функцию y=(1+x)^ , но это является непростой задачей.