![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Лекция 1 Тема 1: Матрицы и определители
- •1. Виды матриц. Равенство матриц. Действия над матрицами
- •2. Определители квадратных матриц
- •3. Свойства определителей
- •4. Теорема Лапласа о разложении определителя по элементам строки или столбца
- •Лекция 2 Тема 1: Матрицы и определители
- •1. Матрица, обратная данной, алгоритм ее вычисления
- •2. Ранг матрицы и его вычисление с помощью элементарных преобразований
- •3. Линейная независимость столбцов (строк) матрицы. Теорема о ранге матрицы
- •Лекция 3 Тема 2: Системы линейных уравнений Тема 3: Векторы
- •1. Виды систем линейных уравнений
- •2. Решение системы n линейных уравнений с n переменными:
- •3. Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместной системы линейных уравнений
- •4. Векторы. Операции над векторами. Понятие о векторном пространстве и его базисе
- •5. Собственные векторы и собственные значения матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.
- •Лекция 4 Тема 4: Функции
- •1. Основные виды уравнения прямой на плоскости
- •2. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование
- •3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых
- •Лекция 5 Тема 5: Предел и непрерывность
- •1. Предел последовательности при n
- •2. Предел функции при X
- •3. Предел функции в точке
- •4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины
- •Лекция 6 Тема 5: Предел и непрерывность Тема 6: Производная
- •1. Второй замечательный предел, число е
- •2. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •3. Производная и её геометрический смысл
- •4. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
- •Лекция 7 Тема 6: Производная
- •1. Основные правила дифференцирования функций одной переменной
- •Тема 7. Приложения производной
- •2. Правило Лопиталя
- •3. Достаточные признаки монотонности функции
- •4. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки существования экстремума
- •Лекция 9 Тема 7. Приложения производной. Тема 8. Дифференциал функции
- •1. Асимптоты графика функции
- •2. Общая схема исследования функций и построения их графиков
- •3. Дифференциал функции и его геометрический смысл
- •Лекция 10 Тема 9. Функции нескольких переменных
- •1. Функции нескольких переменных. Частные производные
- •2. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
- •3. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов
- •Лекция 11 Тема 10. Неопределенный интеграл
- •1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства
- •Доказательство.
- •2. Таблица основных интегралов
- •3. Основные свойства неопределенного интеграла
- •4. Метод интегрирования по частям
- •5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
- •Лекция 12 Тема 11. Определенный интеграл
- •1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
- •2. Свойства определенного интеграла
- •3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница
- •4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Лекция 13 Тема 12. Геометрические приложения определенного интеграла Тема 13. Дифференциальные уравнения
- •1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
- •2. Понятие о дифференциальном уравнении. Общее и частное решения
- •3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •4. Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения
- •Лекция 14 Тема 14. Числовые ряды
- •1. Определение числового ряда. Сходимость числового ряда
- •2. Признаки сравнения и признак Даламбера
- •3. Интегральный признак сходимости числовых рядов
- •4. Теорема Лейбница. Абсолютная и условная сходимости рядов
- •Лекция 15 Тема 15. Степенные ряды
- •1. Степенной ряд и его область сходимости
- •2. Условия разложения функции в степенной ряд. Ряд Маклорена
- •4. Приближенное вычисление значений функций и определенных интегралов с помощью степенных рядов
- •Методические указания к практическим занятиям
- •Методические указания к выполнению контрольных работ.
- •Математика
3. Основные свойства неопределенного интеграла
1.
; 2.
;
3.
; 4.
.
Проверим, например, свойство 2). Пусть F
- первообразная функции f, G-
первообразная функции g на промежутке
I. Это значит, что
и
для
.
Следовательно,
,
то есть
есть первообразная функции
.
Итак,
.
Но
,
где
- такая же произвольная постоянная, как
и С.
4. Метод интегрирования по частям
Теорема 1. Пусть функции
и
имеют на промежутке I непрерывные
производные. Тогда:
.
Доказательство. Формула
интегрирования по частям
основана на правиле дифференцирования
произведения двух функций:
.
Функции, по условию теоремы, непрерывны,
следовательно, существуют интегралы
,
.
Тогда
;
следовательно,
.
Так как интеграл
уже содержит произвольную постоянную,
то в полученном равенстве С можно
опустить. Теорема доказана.
Пример 1. Выведем формулу 17 таблицы интегралов.
=
.
Следовательно,
.
Разделив обе части этого равенства на два, получаем формулу 17.
5. Метод замены переменной в неопределенном интеграле
Метод замены переменной основан на правиле дифференцирования сложной функции.
Теорема. Пусть функция x=(t) имеет непрерывную производную, тогда
.
Доказательство. Пусть F(x)
– первообразная для функции f(x),
т.е.
.
Следовательно, по правилу дифференцирования
сложной функции, имеем
.
Тогда
.
Теорема доказана.
Следствие. Из теоремы следует, что следующее формальное преобразование является истинным:
.
Замечание 1. Нередко формула
для интегрирования заменой переменной
находится после выбора некоторой функции
,
удобной для преобразования подынтегральной
функции, но не позволяющей применить
метод интегрирования подстановкой.
Пример 1.
.
Замечание 2. Однако чаще формула теоремы применяется в другую сторону:
.
Эта формула нередко называется методом
интегрирования подстановкой.
Подчеркнем, что метод подстановки
эффективен в том случае, если
подынтегральная функция может быть
представлена в виде
,
т.е. если подынтегральная функция
содержит в качестве множителя производную
(
)
того выражения
,
которое обозначается через новую
переменную t.
Пример 2.
.
Замечание 3. Третье свойство первообразной является частным случаем метода подстановки.
Пример 3.
.
Лекция 12 Тема 11. Определенный интеграл
ПЛАН
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы.
2. Свойства определенного интеграла.
3. Теорема о производной определенного интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
4. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.
1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Очень многие задачи различных наук (математики, физики, экономики и других наук) приводят к необходимости вычисления для данной функции на некотором отрезке предела сумм специального вида. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции.
Пусть функция f определена на отрезке .
1. Набор точек
таких,
что
называется разбиением отрезка
и обозначается символом Т.
Диаметром разбиения Т
называется число
,
где
.
Заметим, что
(k=1,2,…,n) и
.
2. Для каждого k1,2,…,n
на отрезке
выберем произвольную точку
.
3. Интегральной суммой функции
f на
,
соответствующей разбиению Т и точкам
1, 2,
…, n, называется
число
.
Определение 1. Определенным
интегралом функции f на отрезке
называется предел интегральных сумм
функции f на
при стремлении к нулю диаметра разбиения,
если предел существует, не зависит от
способа разбиения отрезка
,
не зависит от выбора точек
.
Обозначение:
.
При этом функция
называется подынтегральной функцией,
- подынтегральным выражением, числа
a и b
- пределами интегрирования (a
- нижний предел, b
- верхний предел).
Определение 2. Если существует
определенный интеграл функции f
на отрезке
,
то функция f называется
интегрируемой на отрезке
.
Теорема 1. Если функция f непрерывна на отрезке , то f интегрируема на нем.