Лекция 10 Тема 9. Функции нескольких переменных
ПЛАН
1. Функции нескольких переменных. Частные производные.
2. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие.
3. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов.
1. Функции нескольких переменных. Частные производные
,
- функция двух переменных;
,
- функция трех переменных;
,
- функция n переменных.
Определение 1. Если функция
задана аналитически (т.е. с помощью
какой-либо формулы), то областью
определения функции считают множество
всех точек пространства
,
при которых формула имеет смысл.
Далее рассмотрим функцию двух переменных .
- исходная точка;
- полное приращение аргумента;
- точка приращения;
- значение функции в исходной точке;
- значение функции в точке приращения;
- полное приращение функции n
переменных в точке
,
соответствующее приращению
.
- частное приращение функции по
переменной x;
- частное приращение функции по
переменной y.
Определение 2. Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Частной производной функции f
в точке
по переменной x
называется предел
,
если он существует и конечен.
Определение 3. Пусть функция
определена в некоторой окрестности
точки
.
Частной производной функции f
в точке
по переменной y
называется предел
,
если он существует и конечен.
Заметим, что отношение
фактически является функцией одной
переменной
(отношение
также является функцией одной переменной
).
На этом основано следующее правило.
Правило. При вычислении частной производной функции нескольких переменных по некоторой переменной остальные переменные считаем постоянными и вычисление проводим по правилам дифференцирования функции одной переменной.
2. Экстремум функции нескольких переменных и его необходимое условие
Определение 1. Точка
называется точкой максимума функции
,
если существует такая окрестность
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Определение 2. Точка
называется точкой минимума функции
,
если существует такая окрестность
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Определение 3. Точки минимума и максимума функции f называются точками экстремума функции f . Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.
Теорема 1. Если точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки , то частные производные функции f в точке не существуют либо равны 0 .
Доказательство. Это непосредственно следует из необходимого условия экстремума функции одной переменной, примененного к функциям, получающимся из функции при фиксации всех переменных, кроме одной, в окрестности , на которую указано в определении точки экстремума.
3. Понятие об эмпирических формулах и способе наименьших квадратов
На практике часто зависимость между двумя величинами выражается в виде таблицы, полученной опытным путем, в результате наблюдений или статистической обработки:
x |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
y |
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
yn |
Во многих случаях удобно представить зависимость между этими величинами с помощью формулы.
Формулы, служащие для аналитического представления опытных данных, получили название эмпирических формул.
Нахождение эмпирических формул
установление вида зависимости y=f(x) (линейная, квадратичная, степенная, показательная, логарифмическая);
определение неизвестных параметров функции.
Наиболее часто для нахождения неизвестных параметров применяется метод наименьших квадратов, заключающийся в том, что бы было минимальным выражение
.
Рассмотрим случай, когда зависимость является линейной, т.е. y=f(x) есть линейная функция y=ax+b с неизвестными параметрами a, b .
Для этого необходимо найти наименьшее значение функции двух переменных
.
По необходимому условию экстремума функции двух переменных
,
т.е.
,
или
.
Эта система называется системой нормальных уравнений.
Определитель этой системы
>0.
Это можно доказать методом математической
индукции. Следовательно, система имеет
единственное решение.
Также можно доказать, что это решение является точкой минимума функции S(a,b).