3. Достаточные признаки монотонности функции
Для некоторых функций исследование на монотонность и экстремумы можно провести по определению или используя свойства неравенств. Однако в большинстве случаев самым эффективным средством становится применение производной.
Определение 1. Функция f
называется возрастающей на промежутке
X, если для любых
и
из множества X таких,
что
,
выполнено неравенство
.
Определение 2. Функция f
называется убывающей на промежутке
X, если для любых
и
из множества X таких,
что
,
выполнено неравенство
.
Теорема 1. (условие возрастания
функции). Пусть функция
:
1) определена и непрерывна на промежутке X;
2) во всех внутренних точках промежутка
X производная
.
Тогда функция f возрастает на промежутке X.
Доказательство. Пусть
,
.
Применим к функции f
на отрезке
теорему Лагранжа, согласно которой
существует такая точка
,
что
.
Точка c есть внутренняя
точка промежутка X ;
следовательно,
.
Тогда
.
Этим доказано возрастание f
на промежутке X .
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2. (условие убывания функции). Пусть функция :
1) определена и непрерывна на промежутке X;
2) во всех внутренних точках промежутка
X производная
.
Тогда функция f убывает на промежутке X.
4. Необходимый признак экстремума. Достаточные признаки существования экстремума
Определение 1. Точка
называется точкой максимума функции
f , если существует
такая окрестность
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Определение 2. Точка
называется точкой минимума функции
f , если существует
такая окрестность
,
что для всех
выполняется неравенство
.
Определение 3. Точки минимума и максимума функции f называются точками экстремума функции f . Значение функции в точке экстремума называется экстремумом функции.
Теорема 1 (необходимое условие
экстремума). Если точка
является точкой экстремума функции
f , определенной в
некоторой окрестности
точки
,
то либо производная
не существует, либо
.
Доказательство. Пусть
существует и f принимает
в точке
максимум. Заметим, что при
имеем
.
Следовательно, если
,
то
,
а если
,
то
.
Тогда
,
.
Так как существует
, то односторонние пределы равны. Это
возможно лишь в случае
.
Аналогично рассматривается случай
минимума функции f
в точке
.
Теорема доказана.
Определение 1. Точки, в которых производная функции f равна нулю или не существует, называются критическими точками функции f.
Следует иметь в виду, что не всякая
критическая точка функции является
точкой экстремума. Например, функции
и
возрастают на R, но
имеют критическую точку
.
Следующие теоремы позволяют выделять среди критических точек функции точки экстремума.
Теорема 1. (достаточное условие максимума). Пусть функция :
1) непрерывна в точке ;
2) дифференцируема в некоторой
проколотой окрестности
;
3)
на интервале
;
на интервале
.
Тогда точка есть точка максимума функции f .
Доказательство. Пусть
.
Применим к функции f
на отрезке с концами x
и
теорему Лагранжа, согласно которой
существует такая точка c
между x и
, что
.
В любом случае
.
Если
,
то
и, следовательно,
.
Если же
,
то
и
.
Итак,
, т.е.
для всех
.
Это и означает, что
- точка максимума функции f
.
Аналогично доказывается следующая теорема.
Теорема 2. (достаточное условие минимума). Пусть функция :
1) непрерывна в точке ;
2) дифференцируема в некоторой проколотой окрестности ;
3)
на интервале
;
на интервале
.
Тогда точка есть точка минимума функции f .
Отметим еще одно достаточное условие экстремума функции.
Теорема 3. Пусть
и в точке
существует
.
Тогда:
1) если
, то
- точка минимума функции f
;
2) если
, то
- точка максимума функции f
.