63.Визначений інтеграл як границя інтегральної суми

(рис.167)

Нехай функція визначена на відрізку . Виконаємо наступні дії.

1. За допомогою точок розіб'ємо відрізок

на n частинних відрізків (дивися рис. 167).

2. В кожному частинному відрізку виберемо довільну точку

і обчислимо значення функції в ній, тобто величину .

3. Помножимо знайдене значення функції на довжину

відповідного частинного відрізка: .

4. Складемо суму всіх таких добутків:

. (9.1.1)

Сума вигляду (9.1.1) називається інтегральною сумою функції на відрізку .

Позначимо через довжину найбільшого частинного відрізка: .

5. Знайдемо границю інтегральної суми (1.1), коли так, щоб .

Якщо при цьому інтегральна сума має границю, яка не залежить ні від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ні від вибору точок в них, то вона називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається

. (9.1.2)

Числа і називаються відповідно нижньою і верхньою межами інтегрування, - підінтегральною функцією, - підінтегральним виразом, - змінною інтегрування, відрізок - областю (відрізком) інтегрування.

Функція для якої на відрізку існує визначений інтеграл , називається інтегрованою на цьому відрізку.

Сформулюємо тепер теорему існування визначеного інтеграла.

Теорема Коші. Якщо функція неперервна на відрізку , то визначений інтеграл існує.

Відзначимо, що неперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості. Проте визначений інтеграл може існувати і для деяких розривних функцій, зокрема для всякої обмеженої на відрізку функції, що має на ній скінчене число точок розриву.

Вкажемо деякі властивості визначеного інтеграла, які безпосередньо випливають з його означення (9.1.2).

1. Визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування: . Це випливає з того, що інтегральна сума (9.1.1), а отже, і границя (9.1.2) не залежать від того, якою буквою позначається аргумент даної функції.

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування рівний нулю: . 3.Для будь-якого дійсного числа : .

64. Основні властивості визначеного інтеграла

Розглянемо основні властивості визначеного інтеграла, вважаючи підінтегральну функцію інтегрованою на відрізку . При виведенні властивостей використовуватимемо означення інтеграла і формулу Ньютона-Лейбніца.

1. Якщо — постійне число і функція інтегрована на

то постійний множник можна виносити за знак визначеного інтеграла.

(9.4.1)

Складемо інтегральну суму для функції . Маємо :

.

Тоді . Звідси випливає, що функція інтегрована на і справедлива формула (9.4.1).

2. Якщо функції і інтегровані на , тоді інтегрована на їх сума і

(9.4.2)

тобто інтеграл від суми рівний сумі інтегралів.

.

Властивість (2) розповсюджується на суму будь-якого скінченного числа доданків.

3. . Цю властивість можна прийняти за означенням. Ця властивість також підтверджується формулою Ньютона-Лейбніца.

.

4. Якщо функція інтегрована на і , то

(9.4.3)

тобто інтеграл по всьому відрізку дорівнює сумі інтегралів по частинах цього відрізка. Цю властивість називають аддитивністю визначеного інтеграла (або властивістю аддитивності).

При розбитті відрізка на частини включимо точку в число точок поділу (це можна зробити зважаючи на незалежність границі інтегральної суми та способу розбиття відрізка на частини). Якщо , то інтегральну суму можна розбити на дві суми:

.

Кожна з написаних сум є інтегральною відповідно для відрізків ,, ,, . Переходячи до границі в останній рівності при , отримаємо рівність (38.3).

Властивість (4) справедлива при будь-якому розташуванні точок (вважаємо, що функція інтегрується на більшому з відрізків).