5.2. Распределение вероятностей расчетных характеристик водного режима

При описании вероятного изменения расчетной характеристики водного режима X от года к году она рассматривается, как случайная величина с функцией распределения вероятностей F(x), которая для любого значения аргумента x задает вероятность неравенства (X < x). Для непрерывной величины X в теории вероятностей более удобным инструментом ее описания является плотность распределения вероятностей f(x) = F^/ (x). В водохозяйственных расчетах распределение вероятностей характеристики X описывается кривой обеспеченности X(p), которая является графиком соответствующей функции. Для любого значения p от 0 до 1 эта функция задает значение X(p), которое величина X может превысить с вероятностью p. В теории вероятностей X(p) называется квантилью обеспеченности (ежегодной вероятности превышения) p, для которой выполняется соотношение

,

(5.1)

где P – вероятность рассматриваемого события [20].

Оценка расчетной кривой обеспеченности X(p) основана на предположении, что общий вид распределения вероятностей случайной величины X заранее известен. Он выражается в виде некоторой теоретической плотности распределения вероятностей f₀(x; a₁, a₂, … , a_k) известного функционального вида. Особенности вероятных колебаний конкретной характеристики X учитываются параметрами распределения a₁, a₂, … , a_k. Эти параметры, число которых обычно составляет k = 2÷3, подлежат оценке по данным гидрологических наблюдений. Соответствующая этой плотности теоретическая функция обеспеченности X₀(p; a₁, a₂, … , a_k) используется для аппроксимации фактической кривой обеспеченности величины X. В отечественной и зарубежной практике расчетов речного стока для получения теоретических кривых обеспеченности в качестве основы используется гамма – распределение [23, 24, 31, 32].

Это распределение – двухпараметрическое (k = 2). Его параметры связаны с математическим ожиданием M и коэффициентом вариации C_v. Коэффициент асимметрии этого распределения C_s равен 2C_v [20].

Если к случайной величине Х, подчиняющейся гамма - распределению, прибавить некоторое число X_min, то новая величина X + X_min будет подчиняться широко используемому гидрологами ряда стран трехпараметрическому распределению Пирсона III типа (биномиальному распределению). Число X_min задаёт её минимально возможное значение [12]. Случайная величина exp{X + X_min}подчиняется используемому в США и ряде других стран трехпараметрическому лог-пирсоновскому распределению. В ряде стран применяются лог-нормальное распределение и распределение Гумбеля. На стадии обсуждения находится применение усеченных распределений, учитывающих физически допустимые пределы колебаний гидрологических характеристик [31, 33].

В России и других странах СНГ для описания распределения вероятностей характеристик речного стока используется трёхпараметрическое гамма - распределение Крицкого – Менкеля [13]. Такое распределение имеет случайная величина X^b, где X подчиняется гамма – распределению, а b – дополнительный параметр. Для этого распределения получены формулы и номограммы, выражающие его параметры , и b через более удобные параметры изменчивости случайной величины X – ее математическое ожидание M, коэффициент вариации C_v и коэффициент асимметрии C_s или соотношение C_s /C_v. Соответствующая этому распределению теоретическая кривая обеспеченности задается в виде X₀(p) = MK(p,C_v, C_s /C_v). Функция K(p,C_v, C_s /C_v) задана в табличной или графической форме для всех встречающихся в практике гидрологических расчетов значений обеспеченности p и параметров распределения C_v и C_s /C_v. В нашей стране использование трехпараметрического гамма - распределения и правила определения его параметров закреплены соответствующими нормативами [12, 20, 24].

При наличии достаточно продолжительного ряда из n не зависящих друг от друга и однородных наблюдений (случайной выборки) X₁, X₂, …, X_n оценка параметров распределения представляет стандартную задачу математической статистики. Для ее решения существует несколько методов, среди которых в последние десятилетия приоритет отдается методу наибольшего правдоподобия Фишера [20]. При достаточно большой длине выборки n этот метод дает наиболее точные оценки параметров любой заданной теоретической плотности распределения вероятностей f₀ (x; a₁, a₂,…, a_k). В целях упрощения метод наибольшего правдоподобия часто заменяется его приближенным графо - аналитическим вариантом или методом моментов. Подробно эти методы изложены в учебнике [12]. Если ряд наблюдений X₁, X₂, …, X_n удовлетворяет требованиям статистической однородности, но обнаруживает зависимость между его различными, прежде всего, смежными членами, то для оценки параметров распределения используются методы статистики стационарных случайных процессов [24, 26]. Вероятные погрешности статистического оценивания параметров распределения и значений теоретической кривой обеспеченности рассмотрены в работах [12, 24, 26].

При отсутствии продолжительного ряда статистически однородных наблюдений используются различные варианты метода географических обобщений. В целях удлинения короткого ряда используется метод прямой гидрологической аналогии с более продолжительным рядом в другом створе данной реки или реки – аналога с близким по форме распределением вероятностей. При отсутствии наблюдений используются расчетные эмпирические зависимости и карты, которые позволяют приближенно оценить значения параметров кривой обеспеченности на основе пространственных закономерностей речного стока, характеристик водосбора расчетного створа и его местоположения. Подробное описание различных вариантов применения метода географических обобщений содержится в работах [12 – 14]. Возникающие при этом погрешности определения параметров характеристик речного стока рассмотрены в работе [26].

Для понимания реальных возможностей правильного определения расчетной кривой обеспеченности важно иметь в виду следующее обстоятельство. Даже если истинные значения параметров распределения вероятностей M, C_v и C_s /C_v известны абсолютно точно, основанная на предполагаемом теоретическом распределении вероятностей расчетная кривая обеспеченности X₀(p) = MK(p,C_v, C_s /C_v) может отличаться от фактической. Разность X (p) - X₀(p) дает систематическую ошибку расчета кривой обеспеченности. Истинная кривая X (p) неизвестна, поэтому проверка соответствия теоретического распределения вероятностей фактическому может осуществляться на основе различных статистических критериев согласия [27]. Однако даже при наличии продолжительного ряда статистически однородных и не зависящих друг от друга наблюдений X₁, X₂, …, X_n критерии согласия не способны обнаружить даже весьма значительные расхождения в области экстремально больших и экстремально малых значений Х. Если систематические ошибки расчета имеют место в области очень малых обеспеченностей p < 1/2n или очень больших обеспеченностей p > 1 – 1/2n, то не будут обнаружены более чем в половине случаев. Фактически, неконтролируемая никакими статистическими критериями область обеспеченностей может быть значительно шире. Следовательно, в области наиболее важных с практической точки зрения экстремальных значений характеристик речного стока систематические ошибки, обусловленные использованием каких – либо теоретических распределений, могут быть весьма велики и совершенно неконтролируемы [26].

Все используемые в расчетах речного стока теоретические распределения вероятностей являются гипотетическими. При одних и тех же значениях M, C_v и C_s /C_v расхождения между ними не выходят за пределы возможностей статистического контроля над их соответствием фактическим данным наблюдений [26]. В то же время эти теоретические распределения обладают достаточной гибкостью для описания случайных колебаний характеристик речного стока в различных природных условиях, а их успешное применение в практике гидрологических и водохозяйственных расчетов в течение многих десятилетий является весомым оправданием их использования.