2. Переходные процессы в rc цепях

С

Рис. 2. Подключение э.д.с. к RС цепи

хема подключения источника постоянного напряжения к RC цепи показана на рис. 2. В качестве независимой переменной берем напряжение на емкости U_c(t). При t=0 U_c(0_–)=0, начальные условия нулевые. Составим уравнение для нахождения U_c(t):

. (3)

Общее решение уравнения имеет вид

. (4)

Из решения однородного уравнения находим

,

где τ=RC – постоянная времени цепи. Полагая t=∞, определяем значение принужденной составляющей U_пр=Е. Тогда для общего решения запишем

.

И спользуем начальные условия U_c(0_–)=U_c(0₊)=0, Найдем постоянную . Окончательное выражение для напряжения на емкости принимает вид

.

Ток в цепи

.

В

Рис. 3. Токи и напряжения в RС – цепи во время переходных процессов

ременные диаграммы токов и напряжений во время переходных процессов в RC цепи показаны на рис. 3. В момент коммутации при t=0 емкость ведет себя как к.з. и ток в цепи i(0) =E/R. Далее, по мере заряда конденсатора, ток уменьшается по экспоненциальному закону. За время t=3 ток снижается до уровня i(3)=0,05∙E/R.

3 . Переходные процессы в rl цепях

Рассмотрим подключение источника постоянной э.д.с. к RL цепи (рис. 4). До коммутации i_L(0_–)=0 начальные условия нулевые. В качестве независимой переменной X(t) в уравнении (1) выберем ток i(t)=i_L(t) и составим дифференциальное уравнение

Рис.4. Подключение э.д.с. к RL цепи

, (5)

где

Решение уравнения находим в виде:

i (t) = i_пр(t) + i_св(t). (6)

Свободная составляющая является решением однородного уравнения

. (7)

Решение дифференциального уравнения (5) имеет вид

i _св(t) = Ае^pt, (8)

где p =R/L – корень характеристического уравнения

pL + R =0,

Величина /p=L/R=, имеет размерность [с] и называется постоянной времени.

Принужденную составляющую i_пр найдем как частное решение уравнения (3) в установившемся режиме (при t = ∞):

i_пр=E/L

Тогда общее решение уравнения примет вид

. (9)

Учитывая начальные условия i(0_–)=0 и закон коммутации i(0_–)=i(0₊), находим . Окончательно выражение для тока в цепи имеет вид

. (10)

Для напряжений на R и L элементах получим соотношения

,

.

Временные диаграммы напряжений и токов в цепи показаны на рис. 5. Скорость переходных процессов зависит от постоянной времени τ=L/R. При увеличении τ скорость изменения токов и напряжений снижается. За время t=3τ экспоненциальный переходный процесс достигает уровня 0,95 от установившегося значения, а за t=5τ уровня 0,99. На практике за длительность переходных процессов, протекающих по экспоненциальному закону, принимают величину (3 – 5)τ.

В схеме рис. 6 переходный процесс протекает при ненулевых начальных условиях

.

О бщее решение для тока i(t) имеет вид (9), где свободная составляющая i_св(t) описывается соотношением (8), а принужденная составляющая i_пр=0, Тогда

.

Постоянную А найдем из условия

.

Тогда выражения для тока и напряжения на индуктивности цепи во время переходных процессов примут вид

, .

Временные диаграммы i(t) и U_L(t) показаны на рис. 7. До коммутации через индуктивность протекал ток и в магнитном поле катушки была запасена энергия . При замыкании ключа происходит экспоненциальный разряд индуктивности через сопротивление R с постоянной времени .

Рис. 7. Диапазоны тока и напряжения в цепи при отключении э.д.с.

Программа работы.

1. Исследовать переходные процессы в RL цепях (рис. 8) с параметрами:

а) R₁=0, R₂=330 Ом, R_г=110 Ом, L=500 мкГн.

б) R₁=0, R₂=330 Ом, R_г=110 Ом, L=1000 мкГн.

в) R₁=220 Ом, R₂=330 Ом, R_г=110 Ом, L=500 мкГн.

П

Рис.8.RL цепь

росмотреть и зарисовать временные диаграммы Е_г(t) и напряжений на элементах при подаче на вход импульсного напряжения прямоугольной формы с частотой F_г=1000 Гц и с амплитудой U_m=5 В.

2. Исследовать переходные процессы в RC цепи (рис.9) с параметрами:

а) R₁=0, R₂=330 Ом, R_г=110 Ом, С=0,022 мкФ;

б) R₁=0, R₂=330 Ом, R_г=110 Ом, С=0,027 мкФ;

в) R₁=220 Ом, R₂=330 Ом, R_г=110 Ом, С=0,022 мкФ.

Просмотреть и зарисовать временные диаграммы Ег(t) и напряжений на элементах при подаче на вход импульсного напряжения прямоугольной формы с частотой Fг=1000 Гц и с амплитудой Um= 5В.

3

Рис.9. RС цепь

. Провести компьютерное моделирование переходных процессов в RL цепи. Для моделирования использовать программу «MC-7». Создайте принципиальную схему цепи с помощью панели инструментов программы в режиме «Shematic». Для анализа переходных процессов нарисуйте схему исследуемой RL цепи (рис.8). Подключите к схеме генератор импульсов. В окне Part задайте имя источника Е. В окне “Model” – тип источника импульсов – “PULSE”. Задайте параметры импульсов – Vzero=0, Vone=5, P1=100N, P2=110N, P3=10000N, P4=10100N, P5=20u. Запустите программу “Transistient Analisis”. В окне “Time Ranges” установите время анализа 20 u (20 мксек). В окне “Auto Scale Ranges” поставьте знак «включено». Запустите программу расчета переходных процессов “Transistient Analisis” нажав кнопку “Run”. Зарисуйте осциллограммы напряжений в точке 1 и в точке 3 исследуемой схемы. Проведите исследование схемы при других параметрах схемы п.п.1(б,в).

4. Провести компьютерное моделирование переходных процессов в RC цепи. Параметры импульсного сигнала установите следующие:

Vzero=0, Vone=5, P1=100N, P2=110N, P3=60000N, P4=60010N, P5=120u.

П

Рис.10. Вид окна редактирования схем

роведите исследование схемы при других параметрах RC цепи п.п.2(б,в).

Н а рис.10 показано диалоговое окно программы «МС-7» в режиме редактирования схем

Контрольные вопросы

1. Что такое переходные процессы в электрических цепях?

2. В каких случаях возникают переходные процессы в электрических цепях?

3. Каким соотношением связаны мгновенные значения токов и напряжений для R, L, C элементов?

4. Сформулируйте закон коммутации для L и C элементов.

5. Как выглядит общее решение дифференциального уравнения первого порядка?

6. Чем определяются вынужденная и свободная составляющие общего решения для RL и RC цепей первого порядка?

7. Приведите примеры RL и RC цепей с нулевыми и не- нулевыми начальными условиями.

8. Что такое постоянная времени цепи и как она влияет на скорость переходных процессов?

9. По какому закону протекают переходные процессы в электрических цепях первого порядка?