Комбинаторика

Билет 1

Правило сложения:  Если элемент A можно выбрать n способами, а элемент B можно выбрать m способами, то выбрать A или B можно n + m способами.

Правило умножения: Если элемент A можно выбрать n способами, и при любом выборе A элемент B можно выбрать m способами, то пару (A, B) можно выбрать n·m способами. Естественным образом обобщается на произвольную длину последовательности.

Декартово произведение множеств.Множество А × В всех упорядоченных пар элементов (a, b), из которых a принадлежит множеству A, b — множеству B. Порядок следования пар может быть любым, но расположение элементов в каждой паре (векторе, кортеже) определяется порядком следования перемножаемых элементов. Поэтому A × B ≠ B × A, если B ≠ A.

Если обобщить сказанное на любое количество множеств A₁, A₂, ..., A_n, то Д. п. записывается так:

Если перемножаются одинаковые множества, используется обозначение степени:

Множество всех подмножеств множества Пусть   — множество. Множество всех подмножеств множества   называется булеаном   (также степенью множества, показательным множеством или множеством частей) и обозначается   или  . Ясно, что   и  .

Если два множества равномощны, то равномощны и их булеаны. Справедливо следующее утверждение:

Число подмножеств конечного множества, состоящего из   элементов, равно  .

Доказательство проведем методом математической индукции.

База. Если  , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно  .

Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть   — множество с мощностью  . Зафиксировав некоторый элемент  , разделим подмножества множества   на два:

1. , содержащее  ,

2. , не содержащее  , то есть являющиеся подмножествами множества  .

Подмножеств типа (2) по предположению индукции  . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента   и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).

Следовательно имеем   и  . По индукционному предположению   и  . Получаем  .

Формула включения-исключения. Например, в случае двух множеств   формула включений-исключений имеет вид:

В сумме   элементы пересечения   учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем   из правой части формулы.

Th (принцип включения-исключения). Пусть   — конечные множества. Формула включений-исключений утверждает:

Док-во: Рассмотрим произвольный элемент   и подсчитаем, сколько раз он учитывается в правой части формулы включений-исключений^[4].

Если элемент   не обладает ни одним из свойств  , то в правой части формулы он учитывается ровно 1 раз (в члене  ).

Пусть элемент   обладает в точности   свойствами, скажем  . Он дает по 1 в тех слагаемых суммы  , для которых   есть подмножество  , и 0 для остальных. Число таких подмножеств по определению есть число сочетаний  . Следовательно, вклад элемента   в правую часть равен

При   числа сочетаний равны нулю. Оставшаяся сумма в силу биномиальной теоремы(бином Ньютона) равна

Таким образом, правая часть формулы включений-исключений учитывает каждый элемент, не имеющий указанных свойств точно по одному разу, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним из свойств — нуль раз. Следовательно, она равна количеству элементов, не обладающих ни одним из свойств  , то есть  . Что и требовалось доказать.

Число сочетаний из   по   равно биномиальному коэффициенту

При фиксированном   производящей функцией последовательности чисел сочетаний  ,  ,  , … является:

Двумерной производящей функцией чисел сочетаний является

Задача о беспорядках:

Классический пример использования формулы включений-исключений — задача о беспорядках ^[4]. Требуется найти число перестановок   множества   таких что   для всех  . Такие перестановки называются беспорядками.

Пусть   — множество всех перестановок   и пусть свойство   перестановки выражается равенством  . Тогда число беспорядков есть  . Легко видеть, что   — число перестановок, оставляющих на месте элементы  , и таким образом сумма   содержит   одинаковых слагаемых. Формула включений-исключений дает выражение для числа   беспорядков:

Это соотношение можно преобразовать к виду

Нетрудно видеть, что выражение в скобках является частичной суммой ряда  . Таким образом, с хорошей точностью число беспорядков составляет   долю от общего числа   перестановок:

Билет 2.

Опр Если действительное число, положим по определения

Обозначается и читается, как «n факториал от x вниз».

Число всех отображений из одного множества в другое.

Пусть даны множества , причем множество содержит элементов , а множество содержит элементов . В этих терминах задача может быть сформулирована следующим образом: сколько существует функций (отображений) , удовлетворяющих заданным ограничениям. Элементы множества соответствуют объектам, элементы множества "ящикам" а каждая функция определяет некоторое размещение, указывая для каждого объекта "ящик" , в котором данный объект находится.

Лемма . Если , то количество всех функций равно . Эквивалентное утверждение. Число слов длины n в алфавите из символов равно .

Док-во. Без потери общности можно всегда считать, что . Каждую функцию можно тогда отождествить с последовательностью . Каждый член последовательности можно выбрать m способами, что дает возможностей выбора последовательности (чтд)

Число инъективных отображений.

Опр Отображение инъективно, если

Лемма. Число инъективных отображений (инъекций) множества из элементов, , во множество из элементов, есть Эквивалентное утверждение. Число слов длины без повторений букв в алфавите из букв есть .

Док-во. Будем определять на этот раз число инъективных, (то есть имеющих все различные члены) последовательностей . Элемент может быть выбран способами, элемент можно выбрать способом из оставшихся элементов. В общем случае, если уже выбраны элементы , то в качестве может быть выбран любой из элементов множества . (Принимаем, что , если , то и и искомое число функций равно 0). Это дает возможность выбора инъективных последовательностей .

(чтд)

Возрастающие и убывающие субфакториалы.

Возрастающий субфакториал числа n (обозначение: !n) определяется как количество беспорядков порядка n, то есть перестановок порядка n без неподвижных точек. Название субфакториал происходит из аналогии с факториалом, определяющим общее количество перестановок.

В частности, !n есть число способов положить n писем в n конвертов (по одному в каждый), чтобы ни одно не попало в соответствующий конверт

Явная формула

Субфакториал можно вычислить с помощью принципа включения-исключения:

• 

•  (таким же свойством обладает сам факториал)

Убывающий субфакториал:

Опр Если действительное число, положим по определения

Обозначается и читается, как «n факториал от x вниз».

Перестановки ,размещения и сочетания.

Будем обозначать через множество из элементов. Без ограничения общности можно считать, что

Опр. Перестановкой множества M называется произвольная биекция Очевидно, что для n-элементных множеств количество всевозможных перестановок равно .

Опр. Назовём размещением из n элементов по k любое упорядоченное множество , где . Количество всевозможных размещений из элементов по обозначается

Утверждение 1. Справедливо равенство

Док-во: Первый из k элементов можно выбрать n способами, второй способом, и т. д. Последний, й элемент, можно выбрать способами. Поэтому число размещений равно указанному произведению (чтд)

Опр. Сочетание - это неупорядоченное размещение. Говоря более формально, сочетание из элементов по это произвольное подмножество элементного множества. Количество сочетаний из элементов по обозначается или .

Утверждение 2. Справедливо равенство

Док-во: Рассмотрим произвольное сочетание. Всевозможными перестановками из него можно получить различных размещений, причём для разных сочетаний получаются, естественно, непересекающиеся наборы размещений. Это означает, что количество размещений в больше числа сочетаний.(чтд)

Ясно, что

Из последней формулы очевидно, что . У этой формулы есть и другое обоснование: существует биекция между элементными подмножествами и их элементными дополнениями.

Число подмножеств данной мощности.

Число подмножеств конечного множества, состоящего из   элементов, равно  .

Доказательство проведем методом математической индукции.

База. Если  , т. е. множество пусто, то у него только одно подмножество — оно само, и интересующее нас число равно  .

Индукционный шаг. Пусть утверждение справедливо для некоторого n и пусть   — множество с мощностью  . Зафиксировав некоторый элемент  , разделим подмножества множества   на два:

1. , Содержащее ,

2. , Не содержащее , то есть являющиеся подмножествами множества .

Подмножеств типа (2) по предположению индукции  . Но подмножеств типа (1) ровно столько же, так как подмножество типа (1) получается из некоторого и притом единственного подмножества типа (2) добавлением элемента   и, следовательно, из каждого подмножества типа (2) получается этим способом одно и только одно подмножество типа (1).

Следовательно имеем   и  . По индукционному предположению   и  . Получаем  .

Формула включения-исключения. Например, в случае двух множеств   формула включений-исключений имеет вид:

В сумме   элементы пересечения   учтены дважды, и чтобы компенсировать это мы вычитаем   из правой части формулы.

Th (принцип включения-исключения). Пусть   — конечные множества. Формула включений-исключений утверждает:

Док-во: Рассмотрим произвольный элемент   и подсчитаем, сколько раз он учитывается в правой части формулы включений-исключений^[4].

Если элемент   не обладает ни одним из свойств  , то в правой части формулы он учитывается ровно 1 раз (в члене  ).

Пусть элемент   обладает в точности   свойствами, скажем  . Он дает по 1 в тех слагаемых суммы  , для которых   есть подмножество  , и 0 для остальных. Число таких подмножеств по определению есть число сочетаний  . Следовательно, вклад элемента   в правую часть равен

При   числа сочетаний равны нулю. Оставшаяся сумма в силу биномиальной теоремы(бином Ньютона) равна

Таким образом, правая часть формулы включений-исключений учитывает каждый элемент, не имеющий указанных свойств точно по одному разу, а каждый элемент, обладающий хотя бы одним из свойств — нуль раз. Следовательно, она равна количеству элементов, не обладающих ни одним из свойств  , то есть  . Что и требовалось доказать.

Перестановки с повторениями.

Опр Последовательность длины  , составленная из   разных символов, первый из которых повторяется   раз, второй —   раз, третий —   раз,…,  й —   раз называется перестановкой с повторениями из   элементов.

Например, пусть дан набор из четырех букв  . Тогда все перестановки с повторениями из этих букв суть  . Число перестановок с повторениями длины n из k разных элементов, взятых соответственно по n₁, n₂, …, n_k раз каждый обозначается 

Полиномиальные коэффициенты и полиномиальная теорема.

Мультиномиальные (полиномиальные) коэффициенты — коэффициенты в разложении   по мономам  :

Значение мультиномиального коэффициента   определено для всех целых неотрицательных чисел n и   таких, что  :

Билет 3

Мультимножества и число мультимножеств данной мощности.

Мультимножество — в математике, обобщение понятия множества, допускающее включение одного и того же элемента по нескольку раз.

Число элементов в мультимножестве, с учетом повторяющихся элементов, называется его размером или мощностью.