Произведение линейных операторов и обратный оператор

Линейный оператор согласно своему определению – это функция или отображение. Последовательное выполнение двух отображений – это то, что в математике называется сложной функцией, или композицией отображений, или суперпозицией отображений.

Определение. Пусть заданы два оператора и . Произведением или композицией операторов называется новый оператор , действующий по правилу: (запись произведения именно в порядке справа налево: сначала , а потом ).

Предположим, что заданы два оператора и , причем в пространствах , и заданы базисы , и соответственно. Тогда можно определить матрицы операторов и , а также матрицу оператора оператора , где . Тогда (именно в этом порядке!). Другими словами, надо запомнить правило: при перемножении операторов их матрицы перемножаются.

Если все операторы действуют в одном и том же пространстве, то для любого базиса матрица оператора равна .

Определение. Пусть , . Оператор называется обратным к оператору (обозначение ), если и ( и – единичные (тождественные) операторы в пространствах и ).

Лемма 6. Если оператор имеет обратный, то он невырожденный, и область определения и область значения имеют одинаковую размерность.

Доказательство. Если , то , то есть оператор не тождественный. Далее, так как оператор невырожденный, то ранг его матрицы равен n. Это невозможно, если , так как ранг матрицы размером не может быть больше n. Также невозможно , так как обратный оператор тоже невырожденный.

Обычно считается, что , то есть рассматриваются операторы, переводящие пространство в себя. В этом случае можно рассматривать матрицы операторов и в одном и том же базисе . Поскольку матрица тождественного оператора в любом базисе единичная, а при произведении операторов их матрицы перемножаются, то матрица обратного оператора является обратной к матрице исходного оператора: если , то .

Связь матриц одного и того же оператора в разных базисах

Пусть теперь задан один и тот же оператор , переводящий пространство в себя, и два разных базиса и . Мы хотим установить связь между матрицами и .

Обозначим через оператор, который переводит один базис в другой: . Этот оператор невырожденный, и он имеет обратный: . Если оператор в базисе имеет матрицу , то оператор в базисе имеет матрицу .

Теорема. .

Доказательство. Пусть матрица оператора в базисе имеет вид , то есть . Определим другой оператор формулой . Это означает, что матрицы операторов и связаны соотношением . С другой стороны, из определения операторов и вытекает, что для всех векторов базиса выполнено , то есть . Соответственно, для матриц в базисе это равенство превращается в матричное равенство . Учитывая , получаем , или , ч.т.д.

Область значений линейного оператора

Определение. Областью значений (образом) линейного оператора (обозначение ) называется множество всех векторов , представимых в виде .

Лемма. Образ линейного оператора является линейным подпространством линейного пространства .

Доказательство. Надо проверить, что если и , то вектор .

Теорема. .

Доказательство. Размерность образа оператора равна числу линейно независимых столбцов в матрице этого оператора в любом базисе, то есть . Размерность ядра оператора равна размерности ортогонального дополнения к множеству строк матрицы оператора, то есть . Из этого получаем, что .