Матрица перехода к новому базису

Рассмотрим другую задачу соответствия координат вектора и матриц оператора в разных базисах. Пусть оператор переводит вектора одного базиса в вектора другого базиса того же самого n-мерного пространства: . Будем называть его оператором перехода от одного базиса к другому. Вектор один и тот же, но координаты его в разных базисах разные: .

Определение. Матрицей перехода от базиса к базису называется матрица, которая дает разложение векторов нового базиса по векторам старого базиса: . Сравнивая это выражение с определением оператора перехода от одного базиса к другому ( ) и с общим определением матрицы оператора , мы видим, что матрица перехода от одного базиса к другому есть матрица оператора в базисе .

Связь координат вектора в двух базисах

Разложение вектора в базисе с учетом предыдущей формулы можно преобразовать к виду . Снова поменяем в правой части порядок суммирования. Получим . Сравнивая это разложение с разложением , получаем . Итак, мы доказали теорему.

Теорема. Коэффициенты разложения вектора в старом базисе вычисляются через коэффициенты разложения в новом базисе по формуле .

Если сравнить это с формулой умножения матриц, то получим следующее правило: вектор-столбец координат вектора в старом базисе равен произведению матрицы перехода от базиса к базису на вектор-столбец координат того же вектора в новом базисе .

Рассмотрим пример , , , , . Здесь , , поэтому матрица перехода равна . Соответственно старые координаты выражаются через новые формулой .

Ядро и образ линейного оператора

Определение. Ядром линейного оператора (обозначение или ) называется множество всех векторов , для которых .

Лемма 3. Ядро линейного оператора является линейным подпространством линейного пространства . Размерность ядра совпадает с дефектом матрицы в любом базисе: .

Доказательство. Надо проверить, что если выполнено и , то вектор .

Областью значений (образом) линейного оператора (обозначение ) называется множество всех векторов , представимых в виде .

Лемма 4. Образ линейного оператора является линейным подпространством линейного пространства . Размерность образа совпадает с рангом матрицы в любом базисе: .

Размерности образа и ядра оператора связаны соотношением .

Невырожденный оператор

Линейный оператор называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора, то есть размерность ядра равна нулю.

Лемма 5. Линейный оператор вырожден тогда и только тогда, когда он переводит любой базис в систему линейно зависимых векторов. То же самое можно выразить так: линейный оператор невырожден тогда и только тогда, когда он переводит любую систему линейно независимых векторов снова в систему линейно независимых векторов.

Доказательство. а) Если линейный оператор вырожден, то существует вектор , для которого . Разложим вектор по базису: . Тогда , то есть вектора линейно зависимы. б) Если , то для ненулевого вектора будет выполнено , то есть , ч.т.д.

Следствие. Если оператор невырожденный, то ранг его матрицы всегда равен n.

Следствие. Если невырожденный оператор переводит линейное пространство само в себя, то он переводит любой базис снова в базис.

Согласно лемме, любой оператор перехода от одного базиса к другому невырожденный.