Линейные операторы и их матрицы. Линейный оператор.

Пусть – базис n-мерного пространства . Координатами вектора в базисе называется набор чисел такой, что . По свойству базиса данное разложение единственно.

Координаты вектора зависят от базиса. Например, если в двумерном пространстве , , , , то из тождества следует, что координаты вектора в базисе равны , а в базисе равны .

Определение. Векторной функцией векторного аргумента (синоним: оператор) называется отображение одного линейного пространства в другое. Пространство является областью определения функции, а пространство содержит значения функции. Линейным оператором называется такой оператор , который удовлетворяет условию линейности: .

Примером линейного оператора являются ортогональная проекция точек плоскости на ось ОХ или поворот на некоторый угол вокруг начала координат. Также линейным оператором является тождественное преобразование, которое оставляет все точки линейного пространства на месте. Последнее преобразование называется тождественным или единичным оператором.

Если некоторая система векторов линейно зависима, то есть , то значения не могут быть произвольными, так как вследствие линейности оператора должно быть . Однако если система векторов линейно независима, то для каждого набора существует такой линейный оператор, что .

Лемма 1. Пусть известны значения для всех векторов базиса . Тогда для любого вектора (а разложение по базису в пространстве единственно) будет выполняться .

Матрица линейного оператора

Пусть в линейном пространстве задан базис , а в линейном пространстве задан базис .

Определение. Матрицей линейного оператора в базисах и назовем матрицу , k-ый столбец которой представляет собой разложение вектора по векторам базиса : если , то . Матрица оператора имеет размер .

Если и – одно и то же пространство (то есть ), то матрица оператора является квадратной. Обычно в этом случае базисы и выбираются одинаковые: если , то .

Матрица , составленная по базисам и , однозначно задает действие линейного оператора: оператор переводит каждый вектор базиса в вектор , следовательно, оператор однозначно определен на каждом векторе.

Несколько следующих теорем используют идею изменения порядка суммирования в двойных суммах: . Данное равенство означает простую перегруппировку слагаемых в конечной сумме. Внутренняя сумма в двойной сумме иногда включает множители, не зависящие от индекса суммирования внутренней суммы. Тогда эти множители можно вынести за скобки, то есть вынести их из под знака внутренней суммы: . В случае, когда мы меняем порядок суммирования, из под знака внутренней суммы будут выноситься разные сомножители.

Пусть дан вектор . Согласно сформулированной выше Лемме 1 имеем . Поменяем порядок суммирования в последней двойной сумме: . С другой стороны, вектор разлагается по базису в пространстве : . Поскольку это разложение единственно, сравнивая коэффициенты при в обоих выражениях, получаем следующий результат.

Теорема 2. Коэффициенты разложения вектора в базисе вычисляются по формуле .

Если сравнить это с формулой умножения матриц, то получим следующее правило: вектор‑столбец координат вектора в базисе (имеющий высоту m) равен произведению матрицы оператора на вектор-столбец координат вектора в базисе (имеющий высоту n). Если совпадает с , а совпадает с , то вектор‑столбец координат вектора равен произведению матрицы оператора на вектор-столбец координат вектора (все в базисе ).