Критерий ничтожно малой погрешности.

Вопрос о том, какими составляющими при расчете погрешнос­тей можно пренебрегать, возникает постоянно. Это связано с тем, что степень точности определения суммируемых погрешностей не­высока, поэтому нет смысла суммировать те из них, которые име­ют по сравнению с другими малые значения, поскольку это не по­высит точности суммарной погрешности. Пренебрежение малыми погрешностями позволит упростить вычисления при нахождении результирующей погрешности. Следовательно, необходимо устано­вить критерий ничтожно малой погрешности, т.е. математичес­кое правило, позволяющее исключать последнюю из расчета. Этот 216 критерий также необходим при выборе класса точности образцово­го средства измерений в зависимости от класса точности поверяе­мого средства измерений.

Один из возможных вариантов определения критерия ничтож­но малой погрешности состоит в том, что если одна величина боль­ше другой на порядок, то ею можно пренебречь.

При сложении некоррелированных случайных составляющих суммируются их дисперсии (СКО). В случае двух составляющих суммарная случайная погрешность определяется по формуле

где — СКО первой и второй составляющих.

В соответствии с критерием, если дисперсия первой составля­ющей больше дисперсии второй составляющей более чем в 10 раз, то СКО суммарной случайной погрешности составит l,05 . Следовательно, пренебрежение дисперсией вто­рой составляющей по сравнению с дисперсией первой составляю­щей приводит к тому, что СКО суммарной случайной погрешнос­ти будет определено с ошибкой в 5%. Критерий ничтожно малой погрешности для СКО случайной погрешности запишется в виде .Таким образом, погрешностью можно пренебречь, если ее СКО или доверительный интервал в 3 раза меньше, чем у оставляемых погрешностей.

Известен и другой подход к определению критерия ничтожной малости составляющих погрешности, рассмотренный в разд. 9.4.

Для погрешности средств измерений [58] предложен иной кри­терий существенности ее составляющих.

Пример.2. Цифровым измерителем иммитанса Е7-14 проводились пря­мые многократные измерения сопротивления магазина сопротивлений мар­ки РЗЗ, номинальное значение которого равно 0,1 Ом. Измерения проводи­лись в диапазоне рабочих температур измерителя иммитанса. Получены следующие результаты измерения R-: 145,44; 145,36; 145,43; 145,38; 145,44; 145,42; 145,41; 145,39; 145,40; 145,41; 145,45; 145,43; 145,46; 145,37; 145,48 мОм. Проведенные измерения характеризуются неисключенной системати­ческой погрешностью, задаваемой пределом допускаемого значения:

• основной погрешности измерения измерителя Е7-14. Формулы для рас­чета этого значения приведены в таблице примера 1. При этом для данно­го магазина сопротивлений добротность Q = О;

• дополнительной погрешности измерения в диапазоне рабочих темпера­ тур. Он равен удвоенному допускаемому значению основной погрешности.

Для устранения влияния соединительных проводов и переходных со­противлений контактов был проведен ряд измерений при нулевом значе­нии магазина сопротивлений. Получены следующие результаты измере­ния R_oi: 48,30; 48,29; 48,28; 48,29; 48,28; 48,29; 48,29; 48,28; 48,30; 48,30; 48,30; 48,30; 48,31; 48,32; 48,30 мОм.

Требуется провести обработку результатов измерений. Найти суммар­ную погрешность измерения сопротивлений.

Суммарная погрешность измерения сопротивления складывается из случайной и систематической погрешностей. Систематическая погреш­ность измерения сопротивления состоит из трех составляющих, обус­ловленных:

• ненулевым значением сопротивления соединительных проводов и переходных контактов зажимов используемых средств измерений;

• основной и дополнительной погрешностями измерителя иммитанса Е7-14.

Первая из них может быть оценена исходя из данных измерений нуле­вого сопротивления магазина. Полученный ряд данных характеризуется средним арифметическим значением и оценкой его СКО:

,

Сопротивление проводов постоянно присутствует в результатах изме­рений и по своей сути является систематической погрешностью, которая может быть исключена из результатов измерений путем введения поправ­ки, равной -42,295 мОм.

Доверительный интервал погрешности измерения сопротивления про­водов, равный = 2,15* 0,0029 = 0,0062мОм, можно рассмат­ривать двояко: как неисключенную систематическую погрешность и как составляющую случайной погрешности. В любом случае, как это будет видно далее, ее значение столь мало, что согласно критерию ничтожно малой погрешности ею можно пренебречь.

После введения поправки получается исправленный ряд значений сопро­тивления : 100,145; 100,065; 100,135; 100,085; 100,145; 100,125; 100,115; 100,095; 100,105; 100,115; 100,155; 100,135; 100,165; 100,075; 100,185 мОм.

Составляющая систематической погрешности, обусловленная основной погрешностью измерителя иммитанса Е7-14, рассчитывается по формуле

Здесь — среднее арифметическое значений ряда неисправленных пока-заний измерителя иммитанса, равное 145,418 мОм. Следовательно, систе­матическая погрешность, обусловленная основной погрешностью Е7— 14

.Систематическая погрешность, обусловленная дополнительной погреш­ностью средства измерений,

мОм.

Суммарная систематическая погрешность

при условии, что коэффициент k в используемой для расчетов формуле (.6) определяется из табл.1 для Р = 0,95.

Характеристики случайной составляющей находятся посредством ста­тистической обработки исправленного ряда наблюдений. Среднее арифме­тическое значение сопротивления и его СКО, соответственно равны:

Считая распределение результатов измерений R. нормальным, по таблице из приложения 1 находим коэффициент Стьюдента для числа измерений n=15 и 0,95. Он равен t_p=2,15. В этом случае доверитель­ная граница случайной составляющей погрешности измерений

Случайные погрешности измерений исследуемого сопротивления и сопро­тивления подводящих проводов можно считать некоррелированными, так как измерения проводились в разное время. Поэтому суммарная случайная по­грешность определится в соответствии со вторым уравнением в (15):

Из полученных данных видно, что систематическая погрешность зна­чительно больше случайной, поэтому, согласно ГОСТ 8.207-76, последyюю можно не учитывать. Результат измерения запишется в виде мОм при Р - 0,95.