Совместные и совокупные измерения

Эти виды измерений характеризуются тем, что значения искомых величин рассчитывают по системе уравнений, связывающих их с некоторыми другими величинами, определяемыми посредством прямых или косвенных измерений. При этом измеряются несколько комбинаций значений указанных величин. Каждая такая комбинация позволяет получить одно уравнение, а система содержит всю информацию о значениях искомых величин и имеет вид

где Fi — символ функциональной зависимости между величинами в i-м опыте; 1=1; 2;...; n; n — число опытов;

Qm — значения искомых величин, общее число которых равно m;

Xi — полученные в i-м опыте значения k величин, измеряемых прямыми или косвенными методами.

Е сли Qm являются значениями одной и той же величины, то измерения называются совокупными, если разных физических величин, — то совместными.

После подстановки в исходную систему уравнений результатов прямых или косвенных измерений и проведения необходимых преобразований получим n уравнений, содержащих лишь искомые величины и числовые коэффициенты:

Такие уравнения называют условными.

Для того чтобы рассчитать значения искомых величин, достаточно иметь m уравнений, т.е. столько же, сколько содержится неизвестных. Тогда результаты измерений и доверительные границы их погрешностей можно найти методами обработки результатов косвенных измерений. Однако обыкновенно для уменьшения погрешностей результатов измерений делается значительно больше изме­рений, чем это необходимо для определения неизвестных, т.е. n>m.

Вследствие ограниченной точности определения величин Xi условные уравнения одновременно не обращаются в тождества ни при каких значениях искомых величин. И поскольку найти истинные значения искомых величин невозможно, то задача сводится к нахождению их оценок, представляющих собой наилучшие приближения к истинным значениям. Предположим, что, где j =1, 2, ..., m, наилучшие приближения к неизвестным. Если значения этих оценок подставить в условные уравнения, то их правые части будут отличаться от левых. Для получения тождеств

(8.9)

г де Vi — величины, называемые остаточными погрешностями ус­ловных уравнений. Если в систему условных уравнений подста­вить истинные значения искомых величин, то остаточные погреш­ности превратятся в случайные погрешности условных уравнений. Одним из наиболее общих способов отыскания оценок истин­ных значений измеряемых величин является регрессионный ана­лиз, или, как его часто называют, метод наименьших квадратов. Согласно ему оценки выбираются так, чтобы минимизировать сумму квадратов остаточных погрешностей условных уравнений. Сумма квадратов остаточных погрешностей, определенных в соот­ветствии с системой условных уравнений (8.9), составляет

и достигает минимума при системе значений Qj , обращающей в нуль все частные производные от S2 по искомым величинам:

Выражая остаточные погрешности через функции, стоящие в левой части условных уравнений, получаем систему из m уравне­ний с m неизвестными:

где j=l, 2,..., m, которая может быть решена относительно оценок искомых величин.

При решении задачи в общем случае, когда условные уравне­ния нелинейны, а результаты отдельных измерений коррелированы, иногда возникает ряд непреодолимых трудностей* Задача от­носительно несложно решается лишь тогда, когда условные уравнения линейны или приведены к линейным известными спо­собами и при отсутствии корреляции между результатами отдель­ных наблюдений. Ее решение подробно рассмотрено в [3].

Оценки, даваемые методом наименьших квадратов, являются состоятельными и несмещенными, а при нормальном распределе­нии результатов измерений и эффективными. Детальное описание процесса обработки результатов совокупных и совместных измере­ний приведено в [12, 24].