Случайные погрешности

Вероятностное описание случайных погрешностей.

Присутствие случайных погрешностей в результатах измерений легко обнаруживается из-за их разброса относительно некото­рого значения. Как уже отмечалось ранее, и результат измерения, и его погрешность с известными оговорками могут рассматривать­ся как случайные величины.

Из теории вероятности известно, что наиболее универсальным способом описания случайных величин является отыскание их ин­тегральных или дифференциальных функций распределения. Интегральной функцией распределения F(x) называют функцию, ка­ждое значение которой для каждого х является вероятностью события, заключающегося в том, что случайная величина х_i в i-м опыте принимает значение, меньшее х:

F(X) = Р {Х_i < X} = Р{ - < X_i < = Х }.

График интегральной функции распределения показан на рис.5. Она имеет следующие свойства:

• неотрицательная, т.е. F(x) > О;

• неубывающая, т.е. F(x₂) > F(x₁), если х₂ >= х₁;

• диапазон ее изменения простирается от 0 до 1, т.е. F(- ) = 0;

F(+ ) = 1;

• вероятность нахождения случайной величины х в диапазоне от x₁ до х₂ Р{х₁ < х < х₂} = F(x₂) - f(x₁).

Более наглядным является описание свойств результатов изме­рений и случайных погрешностей с помощью дифференциальной функции распределения, иначе называемой плотностью распределения вероятностей р(х) = dF(x)/dx. Она всегда неотрицательна и подчиняется условию нормирования в виде:

p(x)dx = 1

Учитывая взаимосвязь F(x) и р(х), легко показать, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал (х₁; х₂)

P{x₁ < x < x₂} = p(x)dx

Следовательно, рассмотренное выше условие нормирования означает, что вероятность попадания величины х в интервал [-∞;∞] равна единице, т.е. представляет собой достоверное событие.

Из последнего уравнения следует, что вероятность попадания случайной величины х в заданный интервал (х₁;x₂) равна площади, заключенной под кривой р(х) между абсциссами х₁ и х₂ (см. рис.5). Поэто­му по форме кривой плот­ности вероятности р(х) можно судить о том, какие значения случайной вели­чины х наиболее вероятны, а какие наименее.

Результирующая по­грешность зачастую скла­дывается из ряда состав­ляющих с различными плотностями распределе­ния р₁(_Х), р₂(х),..., р_n(х). В связи с этим возникает за­дача определения суммар­ного закона распределения погрешности. Для суммы независимых непрерывных случайных величин х₁ и х₂, имеющих распределения р₁(x) и р₂(х), он называется композицией и выражается интегралами свертки

:

Р(z) = р₁(х₁)р₂(z-x₁)dx₁ = р₁(z-x₂)p₂(x₂)dx₂.

Графическое определение композиции двух случайных независимых величин показано на рис. 6. Следует отметить, что масштаб всех графиков по вертикали произвольный, и должно выполняться условие: площадь, ограниченная кривой плотности вероятности, равна единице.

Рис.5. Интегральная (а) и дифференциальная (б) функции

распределения случайной величины.

Рис.6. Суммирование законов распределения