7.8. Классическая постановка задачи параметрической оптимизации

Для решения оптимизационных задач необходимо задать следующие компоненты:

• критерий оптимизации. Критерий может быть представлен в виде аналитического выражения , где и есть вектор оптимизируемых параметров;

• начальные значения вектора оптимизируемых параметров ;

• ограничения на оптимизируемые параметры в виде равенств или неравенств:

(7.4)

Классическая оптимизация предполагает дифференцируемость критерия по компонентам вектора А

(7.5)

i=0,1,2, … m, но решение системы (7.5) является только необходимым условием оптимизации. Практика параметрической оптимизации требует учета ограничений в системе на параметры оптимизации, одним из способов достижения которого является использование критерия Лагранжа:

Все составляющие процедуры параметрической оптимизации: критерий, ограничения, начальный вектор оптимизируемых параметров, на практике получают, исследуя математическую модель объекта.

7.9. Обоснование выбора численных методов решения задачи параметрического анализа математической модели омт.

Т.к. исходной формой записи математической модели являются дифференциальные уравнения, то основными методами их решения будут методы численного интегрирования. Пакет МАСС представляет набор методов численного интегрирования, среди которых отметим:

1) одношаговые методы, ориентированные на использование линейных математических моделей

2) многошаговые методы для нелинейных и вероятностных моделей

Если – вектор переменных состояния, то по отношению к нему метод Эйлера запишется как:

_(7.6)

k – целочисленное время.

t – текущее, непрерывное время.

h – шаг численного интегрирования.

f – функция, эквивалентная правой части исходной системы управлений.

К разновидностям одношаговых методов относят модификации методов Эйлера, суть которых заключается в упорядоченном вычислении правых частей исходных уравнений и использовании их для организации очередных приближений вектора состояний.

Используя (7.6) в качестве первого приближения вектора состояний, второе приближение запишется в виде:

* ;

Одношаговые методы характеризуются высоким быстродействием, но обеспечивают требуемую точность только при малых значениях шага интегрирования h.

В качестве примера многошагового метода рассмотрим метод Рунге-Кутта 4-го порядка.

Многошаговые методы требуют большего вычислительного ресурса, но при этом снимается ограничение с вида функций, используемых в правых частях, и допускается использование сравнительно больших значений h.

Первым шагом в исследовании математических моделей (например их анализ) является выбор метода численного интегрирования и его параметров.

7.10. Структура математической модели исследуемой системы

Пакет МАСС допускает использование графического описания и командного отображения структуры системы, но транслируется только последнее, т.е. командное отображение. Пусть система переменных состояния описывается уравнениями:

(7.7)

Система (7.7) дополняется уравнениями управлений, которые рассматриваются в двух вариантах:

(7.8)

– скорость объекта.

– координаты объекта.

– измеряемые компоненты вектора состояния X.

В процессе проектирования источником информации о служит математическая модель системы (7.7). В реальной же системе эту информацию получают от приборов управления, аппаратную реализацию которой будем исследовать с использованием системы ML2.

– заданные постоянные, характеризующие установившиеся режимы работы системы.

В качестве результатов параметрического анализа будем находить компоненты вектора , обеспечивающие установившееся устойчивое движение объекта управления, которые принимаем за начальные значения вектора оптимизируемых параметров

Структура решения задачи параметрического анализа в графической форме имеет следующий вид.

Для первых 3-х уравнений системы (7.7) графическое описание решения имеет вид (рис7.7):

Рис.7.7 Структура модели объекта морской техники.

W – трехвходовый сумматор с неединичными коэффициентами у слагаемых.

I – интегратор.

K – задатчик констант.

+ – сумматор с единичными коэффициентами у слагаемых.

G – усилитель.

Структурное описание исследуемой системы используется:

1. для идентификации связей между решающими элементами

2. для семантического описания целей исследований

3. для обоснования начального приближения вектора оптимизируемых параметров