2.3 Представление чисел в разрядной сетке с плавающей запятой.

Разрядная сетка с плавающей запятой представлена на рис.2.3

Знак мантиссы

Знак 1 2… р 1 2 ………… n

порядка

порядок мантисса

числа числа

Рис.2.3 Разрядная сетка с плавающей запятой.

A=±m*N^±p (2.3)

m – мантисса числа в форме с плавающей запятой, на которую накладываются следующие ограничения.

1/N≤m<1

(2.4)

N – основание системы счисления.

Для нормализованной мантиссы первый символ после запятой в её изображении должен быть значащим т.е. не равен нулю, например:

[0, 5]₁₀= [0, 1]₂

P – порядок это целое число, знак и величина порядка определяют истинное положение запятой в изображении мантиссы.

Пример записи основания десятичной системы : N=E=10, а само число в форме с плавающей запятой имеет вид:

-0,893E+15

Мантисса -0,893; порядок +15

-

0

0

0

4

+

3

4

5

0

1

9

7

4

Рис.2.4 Пример разрядной сетки с занесенным в нее десятичным числом.

+0, 3 4 5 0 1 9 7 4 * 10^-4 = 0, 0 0 0 0 3 4 5 0 1 9 7 4

Машинные числа, которые удовлетворяют условиям (2.3) и

(2.4) называются нормализованными.

Именно такая информация может быть адресована в память микропроцессора.

Для двоичного кода :0 0 1 0 0 , 1 0 1 1 0 1 0 0

Порядок: P= [100] → [4]₁₀

Мантисса : m=, 10110100

m= [1011, 01]₂ → [b, 25]

0*2^-1+1*2^-2=1/4=0, 25

A=-0, 000101011*10¹¹

m

m =, 10101*10¹¹⁰

p=11+11=110 m

Оценим диапазон чисел представленных в сетке с плавающей запятой

|A|_maxP

Для |m|_max: m₁=m₂=…=m_i=…=m_n=1

n n

|m|_max=∑ m_i*N^-i=∑ 2^-1=1-2^-n

i=1 i=1

|m|_max=1-2^-n

(2.5)

2^k-1=|P|_max

k

|P|_max=∑ 1*2ⁱ=2^k-1=1*2¹+1*2²+…+1*2^p

i=1

|A|_max= (1-2^-n)*2^(k-1)

(7)

Для |m|_min : m₁=1, m₂=m₃=…=m_n=0

|m|_min=1 * 2^-1

P

|P|_min=-∑ 1*2ⁱ=2^(1-2p)

|A|_min=2^-1*2^(1-2p)=2^-2p

i=1

Использование режима с плавающей запятой для представления чисел в микропроцессоре значительно расширяет их диапазоны по сравнению с разрядной сеткой с фиксированной запятой, сохраняет при этом относительную погрешность представления чисел.