Глава 2. Геометрия в пространстве Системы координат в пространстве.

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве возникает, если взяты три одинаковые взаимно перпендикулярные числовые оси - оси координат; которые пересекаются в точке O, называемой началом системы координат. Первую ось OX называют осью абсцисс, вторую ось OY - осью ординат, третью OZ - осью аппликат. Через каждые две (из трех) координатные оси проходит координатная плоскость.

Рис. 2.1 а. Правая система координат. Рис. 2.1 б. Левая система координат

Существуют две, не сводящиеся друг к другу, системы координат: правая система координат и левая система координат. Различить эти системы координат можно следующим образом: если посмотреть из любой положительной точки оси OZ на ось OY и ось OX окажется справа, то это правая система координат, если слева - левая (сравните рис.2.1а и рис.2.1б).

Рис. 2.2. Метод координат в пространстве

Каждой пространственной точке M можно сопоставить ориентированный отрезок OM, берущий начало в точке начала координат и оканчивающийся в точке M (рис.2.2). Такой отрезок называют радиус-вектором точки M. Спроектируем точку М на оси координат. Каждой точке M соответствуют три точки на осях (на рис.2.2 P, Q, R), их координаты называют координатами точки M. Они однозначно определяют положение этой точки в выбранной системе координат. Наоборот, задав на каждой из осей координат по одной точке, например, P, Q, и R, мы определим одну и только одну точку в пространстве. Эта точка получается при пересечении трех взаимно перпендикулярных плоскостей PM₁MM₃, QM₁MM₂, RM₂MM₃, проходящих соответственно через точки P, Q и R параллельно осям координат. Расстоянием между двумя точками M(x₁,y₁,z₁) и N(x₂,y₂,z₂). в пространстве называется число d, равное длине отрезка прямой соединяющей эти точки

d = . (2.1)

Например, расстояние между двумя точками M(2,-1,3) и N(-2,-1,0), согласно (3.16) равно

d =

В пространстве всякая поверхность может рассматриваться как некоторое множество точек, между координатами которых установлены определенные соответствия

F(x,y,z) = 0 (2.2)

Плоскость и прямая в пространстве.

Из геометрии известно, что через три точки M₀, M₁ и M₂ можно провести плоскость, причем единственным образом. Следовательно, добавив произвольную (текущую) точку плоскости М, можем построить три вектора М₀М, М₀М₁ и М₀М₂, принадлежащих плоскости L. Смешанное произведение таких векторов равно нулю

М₀М М₀ М₁ М₀ М₂ = 0, (2.3)

или, в развернутой форме,

=0. (2.4)

Это уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Рис. 2.3. Уравнение плоскости проходящей через

а) три данные точки б) через данную точку

П

Плоскость L в пространстве можно задать единственным образом, если известна точка M₀(x₀,y₀,z₀), принадлежащая плоскости, и перпендикулярный плоскости вектор

N = {A, В, С}.

Если взять любую произвольную (текущую) точку плоскости M(x, y, z) и построить вектор М₀М L, то векторы N и М₀М перпендикулярны, т. е. их скалярное произведение равно нулю

N  М₀М =0  A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0. (2.5)

Это уравнение называется « уравнение плоскости, проходящей через данную точку».

Все уравнения плоскости можно свести к виду

Ax + By + Cz + D = 0. (2.6)

Это уравнение, линейное относительно всех неизвестных, называется общим уравнением плоскости в пространстве. Если D = 0, то уравнение Ax + By + Cz = 0 описывает плоскость, проходящую через начало координат.

Прямую в пространстве задаем как линию пересечения двух плоскостей. Общее уравнение прямой

(2.7)

Если заданы точка М₀, лежащая на прямой, и параллельный прямой вектор

S = {m, n, p},

то взяв текущую точку прямой М, постоим лежащий на прямой вектор М₀ М.

Векторы М₀ М и S параллельны, следовательно пропорциональны их проекции на оси координат

. (2.8)

Это уравнение называется каноническим.

Пример. Даны координаты вершин пирамиды

А₁(1,-2,-3), А₂(-3,1,1), А₃(4,3,-1), А₄(3,2,2).

Составить: 1. Уравнение плоскости ,

2. Уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А₄ на грань .

Решение. 1. Уравнение плоскости запишем, используя каноническое уравнение плоскости, проходящей через три данные точки:

.

Подставив координаты точек А₁, А₂, А₃, получим

=

Разложив последний определитель по элементам первой строки, будем иметь

или

.

2.Уравнение высоты пирамиды представим в виде канонической системы уравнений прямой, проходящей через заданную точку А₄ с известным направляющим вектором . За направляющий вектор возьмем нормальный вектор плоскости , т.е. .

Уравнение высоты: .

Примечание. Если бы в уравнении прямой один из знаменателей оказался нулевым, например

,

то уравнение прямой следовало бы записать в виде пересекающейся системы плоскостей

Наконец, если бы в уравнении прямой два знаменателя обратились в ноль, например,

,

это означало бы, что прямая является пересечением плоскостей и и ее уравнением будет система

15