3.4 Анализ пирамидальной сортировки
Сначала оценим время выполнения процедуры pushdown. Из листинга видно, что тело цикла while (т.е. отдельная итерация этого цикла) выполняется за фиксированное время. После каждой итерации переменная г по крайней мере вдвое увеличивает свое значение. Поэтому, учитывая, что начальное значение г равно first, после i итераций будем иметь г > first * 2'. Цикл while выполняется до тех пор, пока г > last/2. Это условие будет выполняться, если выполняется неравенство first * 2' > last/2. Последнее неравенство можно переписать как i > log(last/first) - 1.
Следовательно, число итераций цикл while в процедуре pushdown не превышает log(last/first). Поскольку first > 1 и last < n, то из (8.8) следует, что на каждый вызов процедуры pushdown в строках (2) и (5) затрачивалось время, по порядку небольшое, чем O(logn). Очевидно, что цикл for строк (1), (2) выполняется n/2 раз. Поэтому общее время выполнения этого цикла имеет порядок O(n logn). Цикл в строках (3) - (б) выполняется n - 1 раз. Следовательно, на выполнение всех перестановок в строке (4) тратится время порядка О(n), а на восстановление частично упорядоченного дерева (строка (5)) — О(n logn). Отсюда вытекает, что общее время выполнения цикла в строках (3) - (б) имеет порядок О(n logn) и такой же порядок времени выполнения всей процедуры heapsort. Несмотря на то что процедура heapsort имеет время выполнения порядка О(n logn) в самом худшем случае, в среднем ее время несколько хуже, чем в быстрой сортировке, хотя и имеет тот же порядок. Пирамидальная сортировка интересна в теоретическом плане, поскольку это первый рассмотренный нами алгоритм, имеющий в самом худшем случае время выполнения О(n logn). В практических ситуациях этот алгоритм полезен тогда, когда надо не сортировать все n элементов списка, а только отобрать k наименьших элементов, и при этом k значительно меньше п. В последнем примечании указывалось, что в действительности время выполнения цикла в строках (1), (2) имеет порядок О(n). Если надо сделать только k итераций цикла (3) - (5), то на это потратится время порядка O(k logn). Поэтому отбор k минимальных элементов процедура heapsort выполнит за время порядка О(n + k logn). Отсюда следует, что при k < n/logn на выполнение этой операции потребуется время порядка О(n)
3.5 Смотреть приложение b «Пирамидальная сортировка»
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
namespace ConsoleApplication1
{
class PyramidSorting
{
//добавление элемента к пирамиде
static int add2pyramid(double[] arr, int i, int N)
{
int imax;
double buf;
if ((2 * i + 2) < N)
{
if (arr[2 * i + 1] < arr[2 * i + 2]) imax = 2 * i + 2;
else imax = 2 * i + 1;
}
else imax = 2 * i + 1;
if (imax >= N) return i;
if (arr[i] < arr[imax])
{
buf = arr[i];
arr[i] = arr[imax];
arr[imax] = buf;
if (imax < N / 2) i = imax;
}
return i;
}
public static void sorting(double[] arr, int len)
{
//шаг 1: постройка пирамиды
for (int i = len / 2 - 1; i >= 0; --i)
{
long prev_i = i;
i = add2pyramid(arr, i, len);
if (prev_i != i) ++i;
}
Console.WriteLine();
Console.WriteLine("\nПросеивание:");
for (int s = 0; s < len; s++) Console.Write(" " + arr[s]);
//шаг 2: сортировка
double buf;
for (int k = len - 1; k > 0; --k)
{
buf = arr[0];
arr[0] = arr[k];
arr[k] = buf;
int i = 0, prev_i = -1;
while (i != prev_i)
{
prev_i = i;
Console.WriteLine();
Console.WriteLine("\nПерестановка:");
for (int s = 0; s < len; s++) Console.Write(" " + arr[s]);
i = add2pyramid(arr, i, k);
}
if (k > 1)
{
Console.WriteLine();
Console.WriteLine("\nПросеивание:");
for (int s = 0; s < len; s++) Console.Write(" " + arr[s]);
}
}
}
static void Main(string[] args)
{
double M = 0;
double[] arr = new double[24];
//заполнение массива случайными числами
Random rd = new Random();
for (int i = 0; i < arr.Length; ++i)
{
arr[i] = rd.Next(1, 50);
}
Console.WriteLine("Множество перед сортировкой:");
foreach (double x in arr) Console.Write(x + " ");
PyramidSorting.sorting(arr, arr.Length);
Console.WriteLine("\n\nМножество после сортировки сортировкой:");
foreach (double x in arr) Console.Write(x + " ");
for (int i = 0; i < arr.Length; ++i) M = 24 * Math.Log(24);
Console.WriteLine("\n\nЭффективность сортировки:" + M);
Console.WriteLine("\n\nнажмите <Enter> для выхода");
Console.ReadLine();
}
}
}
Рис 9