12.2. Статическая определимость и геометрическая неизменяемость рам

Как и любая расчетная схема (10.1) строительного сооружения рама (12.1) должна представлять собой геометрически неизменяемую систему (10.2). Правила проверки геометрической неизменяемости систем рассмотрены ранее, поэтому лишь напомним, что количество степеней свободы W можно определить по формуле Чебышева:

,

где W – количество степеней свободы системы, D – количество дисков в системе, Ш – количество простых шарниров (шарниры внешних связей не учитываются), С₀ – количество внешних связей. Для геометрически неизменяемых систем обязательным условием является W  0. Однако окончательный вывод о геометрической неизменяемости систем делаю с помощью кинематического анализа, который также рассмотрен в предыдущих лекциях.

Для оценки статической определимости рамы также может быть использована формула Чебышева. Однако, как и в случае с оценкой геометрической неизменяемости системы, формула Чебышева является необходимым, но недостаточным условием подобной оценки. К примеру, определим количество степеней свободы для рамы на рис. 12.4. Система содержит

один диск (10.4) D=1, ни одного внутреннего шарнира Ш=0, количество внешних связей C0=3. Используем формулу Чебышева: . Система может быть геометрически неизменяемой и статически определимой. Проверим геометрическую неизменяемость системы при помощи кинематического анализа. Два жестких диска – рама и земля, связаны между собой тремя стержнями, оси которых не параллельны друг другу и не пересекаются в одной точке. Следовательно, система является геометрически неизменяемой.

С позиции анализа статической определимости данной системы имеем: W=0, следовательно, система может быть статически определима. Однако самый простой анализ данной системы показывает, что она является статически неопределимой. Как будет указано ниже, в каждом стержне рамы может возникать три независимых внутренних силовых фактора (5.1), для определения которых необходимы три независимых условия. Этими условиями могут быть условия равновесия тела (2.14), которых три для плоской системы, и тогда действительно система будет статически определимой. Но, для данной рамы невозможно провести сечение, которое разделит раму на две части, так, чтобы оно проходило не более чем через один стержень и рассекало, например, элемент C-D. Такое сечение пройдет минимум через два стержня, а значит, в соответствии с методом сечений (5.2), появится не менее шести неизвестных усилий, для которых возможно составить лишь три уравнения статики. Значит, такая система является три раза статически неопределимой.

Оценить статическую определимость рамы проще всего, используя формулу контуров:

,

(12.1)

где К – количество замкнутых контуров, с учетом тех, что образованы стержнями опор рамы и землей, Ш – количество простых шарниров (10.5), включая те, которые входят в состав опор.

При  = 0 рама является статически определимой, а при  >0 коэффициент  указывает степень статической неопределимости рамы. Итак, применим формулу (12.1) для рамы на рис. 12.4. Выделим в раме замкнутые контуры, которые пронумеруем римскими цифрами (рис. 12.5). В данной раме три замкнутых контура и шесть простых шарниров (10.5). Используя формулу (12.1) получим: , следовательно, данная рама трижды статически неопределима.